MA_I

63

26.Знайти точку, в якiй дотична до графiка функцiї f(x) = x2 + 5x + 1 паралельна до прямої y = 3x + 1.

точцi M(3; 2).

30.Довести, що парабола y = ax2 + bx + c (a 6= 0, b2 4ac > 0) перетинає вiсь Ox пiд рiвними кутами.

31.Скласти рiвняння дотичних до параболи y = 1 x2, що проходять через точку M(0; 3).

32.Скласти рiвняння дотичних до параболи y = x2 4x + 3, що проходять через точку M(2; 5).

33.Скласти рiвняння дотичних до кривих y = 2x2 5 i y = x2 3x+5, що проходять через точки перетину цих кривих, та знайти кут мiж цими дотичними.

34.Пiд яким кутом перетинаються графiки функцiй:

64

35. Пiд якими кутами перетинаються лiнiї

3.3. Диференцiал функцiї

Функцiя y = f(x) називається диференцiйовною в точцi x0 2 Df , якщо її прирiст у цiй точцi можна подати у виглядi

x0 2 Df тодi й лише тодi, коли вона має похiдну в цiй точцi, причому A = f0(x0), де A – константа з формули (1).

Нехай функцiя y = f(x) диференцiйовна в точцi x0 2 Df . Тодi головна лiнiйна частина її приросту в цiй точцi називається

диференцiалом функцiї f у точцi x0 i позначається df(x0). Диференцiал функцiї f(x) = x позначається через dx.

Оскiльки dx = x для незалежної змiнної x, то диференцiал df(x0) довiльної диференцiйовної в точцi x0 функцiї f можна

подати у виглядi

df(x0) = f0(x0) dx:

Ця формула залишається правильною i в тому випадку, коли змiнна x є функцiєю вiд iншої незалежної змiнної (властивiсть iнварiантностi форми першого диференцiала).

Теорема 2. Якщо C – стала, а u i v – диференцiйовнi

65

Нехай функцiя y = f(x) диференцiйовна в точцi x0 2 Df . Тодi для малих значень приросту аргументу x, для яких x0 + x 2 Df , маємо

f(x0 + x) f(x0) = ( f)(x0) df(x0):

Тому

f(x0 + x) f(x0) + f0(x0) x:

Якщо функцiя задається параметричними рiвняннями x = '(t), y = (t), t 2 T , де ' i – диференцiйовнi на T , причому '(t) 6= 0 на T , то вона диференцiйовна на множинi X = '(T ), причому її похiдна задається такими параметричними рiвняннями:

1.Для функцiї f(x) = x3 2x + 1 обчислити f(1) та df(1) i порiвняти їх, якщо:

66

Нехай u; v; w – диференцiйовнi функцiї вiдносно x. Знайти

67

3.4. Похiднi та диференцiали вищих порядкiв

Нехай функцiя f диференцiйовна в кожнiй точцi деякої множини X Df , яка є околом точки x 2 X. Якщо функцiя f0 є диференцiйовною в точцi x, то її похiдна в цiй точцi називається похiдною другого порядку функцiї f i позначається через f00(x) або ddx2f2 (x), тобто

f00(x) = (f0(x))0:

При цьому кажуть, що функцiя f двiчi диференцiйовна в точцi x.

Аналогiчно, якщо для деякого n 2 функцiя f має похiдну (n 1)-го порядку в кожнiй точцi деякої множини X Df , яка є околом точки x 2 X, i ця похiдна f(n 1) диференцiйовна в точцi x, то похiдна функцiї f(n 1) в точцi x називається похiдною n- го порядку функцiї f у точцi x i позначається через f(n)(x) або

ddxnnf (x), тобто

f(n)(x) = (f(n 1)(x))0:

При цьому кажуть, що f є n разiв диференцiйовною в точцi x. Якщо функцiя f n разiв диференцiйовна в точцi x (n 2), то диференцiалом n-го порядку вiд функцiї f називається диференцiал вiд диференцiала (n 1)-го порядку вiд функцiї f

i позначається вiн dnf(x), тобто

dnf(x) = d(dn 1f(x)):

Якщо x – незалежна змiнна, то

dnf(x) = f(n)(x) dxn:

Теорема 1 (похiднi n-го порядку вiд елементарних функцiй). Нехай n 2 N, p 2 R, a > 0 (a 6= 1). Тодi для всiх тих x, для яких iснують вiдповiднi вирази, правильнi такi рiвностi

68

5) (xp)(n) = p(p 1):::(p n + 1) xp n;

6) (ln x)(n) = ( 1)(n 1) (n n1)! . x

Теорема 2 (формула Лейбнiца). Якщо u i v – n разiв диференцiйовнi функцiї (n 2 N), то

9.f(x) = x [sin(ln x) + cos(ln x)].

10.Знайти f(0), f0(0) i f00(0), якщо f(x) = esin x cos(sin x).

11.Нехай u i v – двiчi диференцiйовнi функцiї вiдносно x. Знайти y00, якщо:

12.Нехай f – тричi диференцiйовна функцiя вiдносно x. Знайти y00 i y000, якщо:

69

15.Нехай u i v – двiчi диференцiйовнi функцiї вiдносно x. Знайти d2y, якщо:

16.Знайти похiднi y0(x), y00(x) i y000(x) вiд нижченаведених параметрично заданих функцiй:

17. Знайти y(6) i y(7), якщо y = x(2x 1)2(x + 3)3.

Для нижченаведених функцiй знайти похiдну y(n) вказаного

70

Вважаючи, що u – n разiв диференцiйовна функцiя вiд x, знайти диференцiал dny вказаного порядку n для таких

66.Довести, що функцiя y = C1 cos x + C2 sin x, де C1 i C2 – довiльнi сталi, задовольняє рiвняння y00 + y = 0.

67.Довести, що функцiя y = C1 ch x + C2 sh x, де C1 i C2 – довiльнi сталi, задовольняє рiвняння y00 y = 0.

71

69.Довести, що функцiя y = xp(C1 cos(ln x) + C2 sin(ln x)), де

C1 i C2 – довiльнi сталi, а p – фiксоване число, задовольняє рiвняння x2y00 + (1 2p)xy0 + (1 + p2)y = 0.

70.Довести, що функцiя

де n 2 N, у точцi x = 0 має похiднi до n-го порядку включно i не має похiдної (n + 1)-го порядку.

нескiнченно диференцiйовна в точцi x = 0. Побудувати графiк цiєї функцiї.

3.5. Основнi теореми диференцiального числення

Теорема Ролля. Нехай функцiя f : [a; b] ! R неперервна на

вiдрiзку [a; b], диференцiйовна на iнтервалi (a; b) i f(a) = f(b). Тодi iснує таке c 2 (a; b), що f0(c) = 0.

Теорема Лаґранжа. Нехай функцiя f : [a; b] ! R

неперервна на вiдрiзку [a; b] i диференцiйовна на iнтервалi (a; b).

Тодi iснує таке c 2 (a; b), що f0(c) = f(b) f(a) .

b a

Теорема Кошi. Нехай функцiї f : [a; b] ! R i g : [a; b] ! R неперервнi на вiдрiзку [a; b] i диференцiйовнi на iнтервалi (a; b),

72

1.Перевiрити правильнiсть висновку теореми Ролля для функцiї f(x) = (x 1)(x 2)(x 3) на вiдрiзку:

а) [1; 2]; б) [2; 3].

p

2.Функцiя f(x) = 1 3 x2 така, що f( 1) = f(1) = 0. Чому

для функцiї f не справджується висновок теореми Ролля на вiдрiзку [ 1; 1], тобто f0(x) 6= 0 для кожної точки x 2

( 1; 1)?

3.Нехай функцiя f : [a; b] ! R – неперервна на вiдрiзку [a; b],

n разiв диференцiйовна на iнтервалi (a; b) i a = x0 < x1 <

: : : < xn = b – такi точки, що f(x0) = f(x1) = : : : = f(xn). Довести, що iснує точка c 2 (a; b), така, що f(n)(c) = 0.

4.Нехай многочлен P (x) = a0 + a1x + : : : + anxn з дiйсними

коефiцiєнтами a0; a1; : : : ; an 2 R з an 6= 0 має лише дiйснi коренi. Довести, що його похiднi P 0(x); P 00(x); : : : P (n 1)(x) також мають лише дiйснi коренi.

5.Довести, що у многочлена Лежандра

всi коренi дiйснi.