MA_I

73

8.На кривiй y = f(x) знайти точку, через яку проходить дотична, паралельна до прямої AB, якщо:

а) f(x) = x2, A(0; 1) i B(3; 4); б) f(x) = x3, A( 1; 1) i B(2; 8).

9.Нехай f : R ! R – диференцiйовна функцiя, така, що

f(x + y) f(x) = yf0(x) для довiльних x; y 2 R. Довести, що iснують a; b 2 R, такi, що f(x) = ax + b для кожного

x 2 R.

10.Нехай f : R ! R – двiчi диференцiйовна функцiя, така,

що f(x + y) f(x) = yf0(x + y2 ) для довiльних x; y 2 R. Довести, що iснують a; b; c 2 R, такi, що f(x) = ax2 +bx+c для кожного x 2 R.

11.Для функцiї

перевiрити правильнiсть висновку теореми Лаґранжа на вiдрiзку [0; 2].

12. Нехай y = f(x) – неперервно диференцiйовна на iнтервалi (a0; b0) функцiя i c 2 (a0; b0). Чи обов’язково iснують точки a; b 2 (a0; b0), такi, що a < c < b i f0(c) = ? (Вказiвка: розглянути функцiю f(x) = x3.)

13.За допомогою теореми Лаґранжа довести нерiвностi: а) j sin x sin yj jx yj для довiльних x; y 2 R;

б) j cos x cos yj jx yj для довiльних x; y 2 R;

в) jx yj j tg x tg yj для довiльних x; y 2 ( 2 ; 2 ); г) j arctg x arctg yj jx yj для довiльних x; y 2 R;

75

21.Нехай y = f(x) – нескiнченно диференцiйовна на R функцiя, така, що для кожного x 2 R iснує такий номер nx 2 N, що f(nx)(x) = 0. Довести, що f(x) – многочлен.

3.6.Правило Лопiталя

Теорема (правило Лопiталя розкриття невизначеностей 00 i 11). Нехай a 2 R [ f 1g, b 2 R [ f+1g i функцiї f та g визначенi i диференцiйовнi на промiжку (a; b), причому g0(x) 6= 0 на цьому промiжку. Якщо c 2 fa; bg, lim f(x) = lim g(x) = 0 (або lim f(x) = lim g(x) = 1) та iснує

77

f(x) = f(x0)+f0(x0)(x x0)+:::+ f(n)(x0)(x x0)n +o((x x0)n): n!

Остання формула називається формулою Тейлора для функцiї f iз залишковим членом у формi Пеано.

Теорема 2. Нехай функцiя f визначена i (n + 1) разiв диференцiйовна в деякому околi точки x0. Тодi для всiх x iз цього околу

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x x0) + ::: + f(n)(x0)(x x0)n+ n!

+f(n+1)(cx) (x x0)n+1 ;

(n + 1)!

де точка cx лежить мiж точками x0 та x.

Остання формула називається формулою Тейлора для функцiї f iз залишковим членом у формi Лаґранжа.

Якщо x0 = 0, то вiдповiднi формули Тейлора називаються формулами Маклорена для многочлена p чи функцiї f.

Теорема 3. Для основних елементарних функцiй у вiдповiдних околах точки x0 = 0 правильнi такi формули Маклорена:

де rn(x) – це залишковий член вiдповiдної формули.

1.Розкласти многочлен f(x) = 1+3x+5x2 2x3 за степенями x + 1.

21.Оцiнити абсолютну похибку наближених формул: а) sin x x x63 при jxj 0; 5;

б) tg x x + x33 при jxj 0; 1;

в) p1 + x 1 + x2 x82 при 0 x 1;

г) ex 1 + x + x2!2 + ::: + xnn! при 0 x 1.

22.Для яких x правильна з точнiстю до 0; 0001 наближена формула cos x 1 x22 ?

23.Використовуючи формулу Тейлора, обчислити наближенi значення нижченаведених виразiв та оцiнити похибку

80

е) sin 18 ; є) cos 40 ; ж) sin 29 .

24. Обчислити наближенi значення нижченаведених виразiв

3.8. Застосування похiдної до дослiдження функцiй на монотоннiсть i екстремуми

Функцiя f : E ! R, визначена на множинi E R, називається монотонно зростаючою (монотонно спадною) на множинi X E, якщо

f(x1) f(x2) (f(x1) f(x2))

для довiльних x1; x2 2 X з x1 < x2. Функцiя f, яка монотонно зростає або монотонно спадає на множинi X, називається

монотонною на множинi X.

Аналогiчно, функцiя f : E ! R називається строго зростаючою (строго спадною) на множинi X E, якщо

f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2))

для довiльних x1; x2 2 X з x1 < x2. Функцiя f, яка строго зростає або строго спадає на множинi X, називається строго монотонною на множинi X.

Теорема 1. Нехай функцiя f : X ! R неперервна на промiжку X iз кiнцями a та b i диференцiйовна на iнтервалi

(a; b). Тодi функцiя f монотонно зростає (спадає) на X тодi i тiльки тодi, коли f0(x) 0 (f0(x) 0) для кожного x 2 (a; b).

Теорема 2. Нехай функцiя f : X ! R неперервна на промiжку X iз кiнцями a та b i диференцiйовна на iнтервалi

(a; b). Тодi функцiя f строго зростає (спадає) на X тодi i тiльки тодi, коли f0(x) 0 (f0(x) 0) для кожного x 2 (a; b) i

81

похiдна f0 не дорiвнює тотожно нулю на кожному iнтервалi

I (a; b).

Нехай область визначення Df R функцiї f є околом точки x0. Точка x0 називається точкою локального максимуму (локального мiнiмуму) функцiї f, якщо iснує такий окiл U Df

точки x0, що

f(x) f(x0) (f(x) f(x0))

для довiльного x 2 U. Точка x0, яка є точкою локального максимуму або мiнiмуму, називається точкою локального екстремуму.

Якщо для всiх x 2 U n fx0g виконуються вiдповiднi строгi нерiвностi, то точка x0 називається точкою строгого локального максимуму, мiнiмуму i екстремуму вiдповiдно.

Теорема 3 (необхiдна умова екстремуму). Нехай x0 –

точка локального екстремуму функцiї f i f диференцiйовна в точцi x0. Тодi f0(x0) = 0.

Теорема 4. Нехай функцiя f – диференцiйовна в деякому

околi U = (x0 ; x0 + ) точки x0 2 Df . Тодi

(i) якщо f0(x) 0 для кожного x 2 (x0 ; x0) i f0(x) 0 для кожного x 2 (x0; x0 + ), то x0 – точка локального максимуму; (ii) якщо f0(x) 0 для кожного x 2 (x0 ; x0) i f0(x) 0 для кожного x 2 (x0; x0 + ), то x0 – точка локального мiнiмуму.

Теорема 5. Нехай функцiя f – диференцiйовна в деякому

околi U = (x0 ; x0 + ) точки x0 2 Df , f0(x0) = 0 i iснує f00(x0). Тодi

(i) якщо f00(x0) < 0, то x0 – точка локального максимуму; (ii) якщо f0(x0) > 0, то x0 – точка локального мiнiмуму.

Знайти промiжки строгої монотонностi таких функцiй: