MA_I

23

37.xn = (1 12 )(1 14 ) : : : (1 21n );

38.xn = (1 + 12 )(1 + 14 ) : : : (1 + 21n );

39.xn = 101 113 : : : 2nn+91 .

41.Довести, що для кожного n 2 N виконується нерiвнiсть:

0 < e (1 + n1 )n < n3 .

42.Нехай (xn)1n=1 – довiльна послiдовнiсть додатних чисел, яка прямує до +1 i (yn)1n=1 – довiльна послiдовнiсть чисел yn < 1, яка прямує до 1. Довести, що

44.Довести, що число e є iррацiональним.

45.Нехай (xn)1n=1 – довiльна нескiнченно мала послiдовнiсть додатних чисел i a > 0. Довести, що lim axn = 1.

n!1

24

Використовуючи критерiй Кошi, дослiдити на збiжнiсть послiдовнiсть (xn)1n=1, якщо:

49.xn = sin2 1 + sin222 + : : : + sin2nn ;

50.xn = cos312 + cos3222 + : : : + cos3nn2 ;

51.xn = a0 + a1q + a2q2 + : : : + anqn,

де janj < M для кожного n 2 N i jqj < 1;

53.xn = sin1!1! + sin2!2! + : : : + sinn!n! ;

54.xn = arctg12 1 + arctg22 2 + : : : + arctgn2 n ;

1.8. Верхня i нижня границi послiдовностi

Число a 2 R (a = +1 або a = 1) називається частковою границею послiдовностi (xn)1n=1, якщо a є границею деякої пiдпослiдовностi послiдовностi (xn)1n=1.

Теорема 1. Нехай (xn)1n=1 – така числова послiдовнiсть, що

для довiльної пiдпослiдовностi (xnk )1k=1 послiдовностi (xn)1n=1.

25

Теорема 2 (Больцано-Вейєрштрасса). Довiльна обмежена числова послiдовнiсть має хоча б одну скiнченну часткову границю.

Найменша часткова границя (скiнченна або нескiнченна) послiдовностi (xn)1n=1 називається нижньою границею

послiдовностi (xn)1n=1 i позначається через lim xn. Найбiльша

n!1

часткова границя (скiнченна або нескiнченна) послiдовностi

(xn)1n=1 називається верхньою границею послiдовностi (xn)1n=1 i

позначається через lim xn.

n!1

Теорема 3. Нехай (xn)1n=1 – довiльна числова послiдовнiсть.

де a 2 R або a = +1 або a = 1.

Число a 2 R називається граничною точкою послiдовностi

(xn)1n=1, якщо для довiльного iнтервалу I, що мiстить точку a, множина fn 2 N : xn 2 Ig є нескiнченною.

Точка +1 ( 1) називається граничною точкою числової послiдовностi (xn)1n=1, якщо для довiльного b 2 R множина fn 2 N : xn > bg (fn 2 N : xn < bg) є нескiнченною.

1.Довести, що монотонна послiдовнiсть збiжна тодi i тiльки тодi, коли вона має хоча б одну скiнченну часткову границю.

2.Нехай (xn)1n=1 – монотонна послiдовнiсть. Довести, що

(xn)1n=1 тодi i тiльки тодi, коли a є граничною точкою послiдовностi (xn)1n=1.

26

4.Нехай (xn)1n=1 – довiльна числова послiдовнiсть. Довести, що:

5.Нехай числову послiдовнiсть (xn)1n=1 можна розбити на скiнченну кiлькiсть пiдпослiдовностей, якi збiгаються до

a1; a2; : : : ; ak вiдповiдно. Довести, що fa1; a2; : : : ; akg є множиною всiх часткових границь послiдовностi (xn)1n=1,

minfa1; a2; : : : ; akg.

28

Роздiл II. Границя та неперервнiсть функцiї

2.1. Функцiї та їх властивостi

Функцiєю f, що дiє з множини X в множину Y

(позначається f : X ! Y або y = f(x)), називається певне правило, згiдно з яким кожному елементу x з множини X ставиться у вiдповiднiсть єдиний цiлком визначений елемент y з множини Y , який називається значенням функцiї f у точцi x i позначається f(x). Множина X називається областю визначення (або областю iснування) функцiї f i позначається

Df . Множина ff(x) : x 2 Xg називається множиною значень функцiї f i позначається Ef або f(X).

Композицiєю (або суперпозицiєю) g f функцiй g : Y ! Z i f : X ! Y називається функцiя h : X ! Z, яка визначається формулою: h(x) = g (f(x)), тобто (g f)(x) = g (f(x)).

Нехай f : X ! Y – така функцiя, що для кожного y 2 Ef iснує єдине x 2 X таке, що y = f(x). Тодi це правило визначає деяку функцiю g : Ef ! X, яка називається оберненою функцiєю до функцiї f i позначається через f 1. Отже, f 1(y) = x тодi i тiльки тодi, коли y = f(x).

Функцiя f : X ! R, де X R, називається монотонно зростаючою (строго зростаючою), якщо для довiльних x1; x2 2

X з нерiвностi x1 < x2 випливає нерiвнiсть f(x1) f(x2) (f(x1) < f(x2)). Функцiя f : X ! R, де X R, називається

монотонно спадною (строго спадною), якщо для довiльних x1; x2 2 X з нерiвностi x1 < x2 випливає нерiвнiсть f(x1) f(x2) (f(x1) > f(x2)).

Функцiя f : X ! R, де X R, називається парною (непарною), якщо область визначення X функцiї f симетрична вiдносно початку координат, тобто x 2 X тодi i тiльки тодi, коли x 2 X, i для довiльного x 2 X виконується рiвнiсть

29

f( x) = f(x) (f( x) = f(x)).

Нехай X R i T 6= 0. Функцiя f : X ! R називається

перiодичною з перiодом T або T -перiодичною, якщо область визначення X функцiї f є iнварiантною вiдносно зсуву на T одиниць влiво i вправо, тобто для довiльного x 2 R точки x, x+T i x T або одночасно належать множинi X, або одночасно не належать множинi X, i f(x+T ) = f(x) для довiльного x 2 X.

23.Функцiя y = sgn x визначається так: sgn x = 1, якщо x > 0, sgn x = 1, якщо x < 0, i sgn 0 = 0. Побудувати графiк функцiї y = sgn x. Довести, що jxj = x sgn x.

30

24. Функцiя y = [x] (цiла частина числа x) визначається так: [x] = n, якщо n 2 Z i x 2 [n; n + 1). Iншими словами, цiла частина числа x – це найбiльше цiле число, що не перевищує x. Побудувати графiк функцiї y = [x].

25.Функцiя y = fxg (дробова частина числа x) визначається так: fxg = x [x]. Побудувати графiк функцiї y = fxg.

Знайти обернену функцiю x = f 1(y) до функцiї y = f(x), якщо:

26.f(x) = 2x + 3 i Df = R;

27.f(x) = x2 i Df = fx 2 R : x 0g;

28.f(x) = x2 i Df = fx 2 R : x 0g;

29.f(x) = 11+xx i Df = fx 2 R : x 6= 1g;

35.Довести, що нижченаведенi функцiї є строго зростаючими на вiдповiдних промiжках:

31

36.Довести, що нижченаведенi функцiї є строго спадними на вiдповiдних промiжках:

ґ) f(x) = ax, де a > 0; д) f(x) = logax, де a > 0 i a 6= 1.

38.Встановити, якi з нижченаведених функцiй є парними, а якi непарними:

39.Довести, що довiльну функцiю, визначену на симетричнiй вiдносно початку координат множинi X R, можна єдиним чином подати у виглядi суми парної i непарної функцiй.

40.Встановити, якi з нижченаведених функцiй є перiодичними, i знайти їхнi найменшi додатнi перiоди:

а) f(x) = sin x + 12 sin(2x) + 13 sin(3x);

б) f(x) = a cos( x) + b sin( x), де a; b; 6= 0;

32

41.Чи обов’язково перiодична функцiя має найменший додатний перiод?

42.Довести, що функцiя Дiрiхле

d(x) =

1; x 2 Q;

0; x 2 I;

є T -перiодичною для кожного додатного T 2 Q.

43.Функцiя f(x) є T1-перiодичною, а функцiя g(x) є T2-

перiодичними.

44. Функцiя f : R ! R i число T > 0 такi, що f(x+T ) = f(x) для всiх x 2 R. Довести, що f перiодична.

45. Функцiя f : R ! R i число T > 0 такi, що f(x + T ) = f(1x) для всiх x 2 R. Довести, що f перiодична.

46. Функцiя f : R ! R i число T > 0 такi, що f(x+T ) = 1 f(x)

1+f(x)

для всiх x 2 R. Довести, що f перiодична.

47.Нехай f : R ! R, > 0 i функцiя g : R ! R визначається формулою g(x) = f( x). Довести, що дiйсне число T > 0

є перiодом функцiї f тодi i тiльки тодi, коли число T є перiодом функцiї g.