MA_I

33

2.2. Означення границi функцiї

Нехай a 2 R i " > 0. Iнтервал (a "; a + ") називається "- околом точки a в R. Множини ( 1; E) [(E; +1), ( 1; E) i (E; +1), де E > 0, називаються E-околами точок 1, 1 i +1 вiдповiдно. Околом точки a 2 R (a = 1; 1) називається множина, яка мiстить деякий "-окiл (E-окiл) точки a в R.

Точка a (скiнченна або нескiнченна) називається граничною точкою множини A R або точкою накопичення множини

A, якщо для довiльного околу U точки a в R множина A \ U є

множини X, якщо для довiльного " > 0 iснує таке > 0, що для довiльного x 2 X з нерiвностi jx aj < випливає нерiвнiсть jf(x) bj < ".

Нехай f : X ! R, a; b 2 R [ f1; 1; +1g, причому a – гранична точка областi визначення X функцiї f.

аргументiв xn 2 X, яка прямує до a, вiдповiдна послiдовнiсть

(f(xn))1n=1 значень функцiї f(xn) прямує до b.

Означення границi функцiї на мовi околiв: b = lim f(x),

x!a

якщо для довiльного околу V точки b в R iснує окiл U точки a в R, такий, що f(x) 2 V для довiльного x 2 U \ X.

Теорема 1. Нехай f : X ! R, де X R, a; b 2 R, причому a – гранична точка множини X. Тодi наступнi твердження еквiвалентнi:

1)b є границею функцiї f(x) при x ! a на мовi "" ";

2)b є границею функцiї f(x) при x ! a на мовi послiдовностей;

34

3) b є границею функцiї f(x) при x ! a на мовi околiв. Точка a 2 R називається точкою лiвостороннього

(правостороннього) накопичення множини A R, якщо для довiльного " > 0 множина A \ (a "; a) (A \ (a; a + ")) є непорожньою.

Число b 2 R називається границею функцiї f : X ! R

при x прямуючому до a злiва (справа), де X R, a – точка лiвостороннього (правостороннього) накопичення множини X i b 2 R, тобто b = lim f(x) (b = lim f(x)), якщо для

довiльного " > 0 iснує таке > 0, що для довiльного x 2 X з нерiвностi a < x < a (a < x < a + ) випливає нерiвнiсть jf(x) bj < ".

Теорема 2. Нехай f : X ! R, де X R, a 2

R – точка лiвостороннього i правостороннього накопичення

областi визначення X функцiї f i b 2 R. Тодi lim f(x) = b

x!a

тодi i тiльки тодi, коли lim f(x) = lim f(x) = b, причому

x!a 0 x!a+0

b = f(a), якщо a 2 X.

1.Довести, що точка a 2 R є граничною точкою множини A R тодi i тiльки тодi, коли a є точкою лiвостороннього або правостороннього накопичення множини A.

2.Довести, що точка a = 1 є граничною точкою множини A R тодi i тiльки тодi, коли 1 або +1 є граничною точкою множини A.

3.Нехай A R i послiдовнiсть (xn)1n=1 граничних точок xn множини A збiгається до деякої точки a 2 R. Довести, що точка a є граничною точкою множини A.

4.Довести, що точка a 2 R є граничною точкою множини

A R тодi i тiльки тодi, коли iснує послiдовнiсть (xn)1n=1 точок xn 2 A, xn 6= a, яка збiгається до точки a.

37

2.3. Правила знаходження границь, обчислення границь рацiональних та iррацiональних виразiв

Теорема. Нехай a – гранична точка перетину Df \ Dg областей визначення Df i Dg функцiй f i g вiдповiдно,

lim f(x) = b i lim g(x) = c. Тодi:

x!a x!a

1) lim (f(x) g(x)) = b c;

x!a

2) lim (f(x) g(x)) = b c;

x!a

Знайти нижченаведенi границi рацiональних виразiв: