MA_I

45

2.5. Означення неперервної функцiї

Нехай X R, f : X ! R i x0 2 X. Функцiя f називається неперервною в точцi x0, якщо для довiльного " > 0 iснує таке> 0, що для довiльного x 2 X з нерiвностi jx x0j < випливає нерiвнiсть jf(x) f(x0)j < ". На мовi околiв це означення має такий вигляд: функцiя f є неперевною в точцi x0, якщо для довiльного околу V точки f(x0) в R iснує окiл U точки x0 в R такий, що f(x) 2 V для всiх x 2 U \ X. Кажуть також, що точка x0 є точкою неперервностi функцiї f. Якщо, крiм того, x0 є граничною точкою областi визначення функцiї f, то

f неперервна в точцi x0 тодi i тiльки тодi, коли lim f(x) = f(x0).

x!x0

Функцiя y = f(x) називається неперервною на множинi A Df , якщо вона неперервна в кожнiй точцi множини A. Функцiї неперервнi на всiй своїй областi визначення називаються

неперервними.

Якщо точка x0 є граничною точкою областi визначення функцiї y = f(x) i функцiя f не є неперервною в точцi x0, то f

називається розривною в точцi x0, а точка x0 – точкою розриву функцiї f.

Нехай X R, f : X ! R i A X, причому A 6= .

Коливанням !f (A) функцiї f на множинi A називається точна верхня межа множини fjf(x0) f(x00)j : x0; x00 2 Ag, тобто

!f (A) = sup jf(x0) f(x00)j. Нехай x0 2 X i Ux0 – сукупнiсть

x0;x002A

усiх околiв точки x0 в R. Точна нижня межа множини f!f (U \

X) : U 2 Ux0 g називається коливанням функцiї f в точцi x0 i позначається !f (x0), тобто !f (x0) = !f (U \ X).

1.Нехай x0 – iзольована точка областi визначення функцiї y = f(x), тобто x0 2 Df i x0 не є граничною точкою множини Df . Довести, що f неперервна в точцi x0.

46

3.Нехай f(x) = x1 , x0 2 Df i " > 0. Знайти максимальне> 0, таке, що для всiх x 2 Df з нерiвностi jx x0j < випливає нерiвнiсть jf(x) f(x0)j < ".

4.Довести, що функцiя y = f(x) є неперервною в точцi x0 2 Df тодi i тiльки тодi, коли !f (x0) = 0.

5.Нехай функцiя y = f(x), число > 0 i послiдовнiсть

(xn)1n=1 точок xn 2 Df такi, що !f (xn) для кожного n 2 N i послiдовнiсть (xn)1n=1 збiгається до деякої точки x0. Довести, що x0 є точкою розриву функцiї f.

6. Сформулювати на мовi "" " той факт, що функцiя

y = f(x) розривна в точцi x0 2 Df .

7.Нехай множина A (0; +1), функцiя y = f(x) i точка

x0 2 Df такi, що для кожного " 2 A iснує таке > 0, що для кожного x 2 Df з нерiвностi jx x0j < випливає нерiвнiсть jf(x) f(x0)j < ". Чи обов’язково функцiя f неперервна в точцi x0, якщо:

ґ) infA = 0?

8. Нехай f : R ! R, x0 2 R i для кожного > 0 iснує таке " > 0, що з нерiвностi jx x0j < випливає нерiвнiсть jf(x) f(x0)j < ". Чи обов’язково функцiя f неперервна в точцi x0? Яка властивiсть функцiї f описується даними нерiвностями?

47

9.Нехай f : R ! R, x0 2 R i для кожного " > 0 iснує таке> 0, що з нерiвностi jf(x) f(x0)j < " випливає нерiвнiсть jx x0j < . Чи обов’язково функцiя f неперервна в точцi x0? Яка властивiсть функцiї f описується даними нерiвностями?

нерiвностi jf(x) f(x0)j < " випливає нерiвнiсть jx x0j <. Чи обов’язково функцiя f неперервна в точцi x0? Яка властивiсть функцiї f описується даними нерiвностями?

11.З допомогою "" "-мiркувань довести неперервнiсть таких функцiй:

2.6. Дослiдження функцiй на неперервнiсть та класифiкацiя точок розриву

Точка розриву x0 функцiї y = f(x) називається точкою розриву першого роду, якщо iснують скiнченнi границi f(x0 0) = lim f(x) i f(x0 + 0) = lim f(x). Рiзниця

hf (x0) = f(x0 + 0) f(x0 0) називається стрибком функцiї f в точцi x0. Якщо hf (x0) = 0, тобто f(x0 + 0) = f(x0 0), то точка розриву x0 функцiї f називається точкою усувного розриву.

iснує або є нескiнченною, то точка розриву x0 функцiї y = f(x) називається точкою розриву другого роду. Зокрема, у випадку,