MA_I
.pdf53
12.Нехай y = f(x) строго додатна неперервна на вiдрiзку [a; b] функцiя. Довести, що iснує таке c > 0, що f(x) > c для всiх x 2 [a; b].
13.Нехай a 2 R i функцiя y = f(x) неперервна на промiжку
[ |
a; |
+1), |
причому iснує скiнченна границя |
lim f(x) |
. |
|
x!+1 |
||||
Довести, що функцiя f обмежена на [a; +1). |
|
|
|||
14. Нехай функцiя y = f(x) неперервна на вiдрiзку [a; b] |
i |
||||
x1; x2; : :1 |
: ; xn 2 [a; b]. Довести, що iснує таке c 2 [a; b], що |
||||
f(c) = n |
(f(x1) + f(x2) + : : : + f(xn)). |
|
|
||
15.Нехай функцiя y = f(x) неперервна i обмежена на промiжку [a; +1). Довести, що для довiльного числа T > 0 iснує послiдовнiсть (xn)1n=1 точок xn 2 [a; +1) така, що
nlim xn = +1 i |
nlim (f(xn) f(xn + T )) = 0. |
!1 |
!1 |
16. Функцiї f i g – такi неперервнi перiодичнi функцiї на R,
|
lim (f(x) |
|
g(x)) = 0 |
f(x) = g(x) |
|
що |
x!+1 |
. Довести, що |
|
для |
всiх x 2 R.
17.Яка властивiсть графiка функцiї y = f(x) означає, що функцiя f має обернену f 1, яка збiгається з функцiєю f?
18.Довести, що розривна функцiя y = (1 + x2) sgn x має неперервну обернену функцiю.
19.Визначити однозначнi неперервнi вiтки обернених функцiй для таких функцiй:
а) y = x2; |
б) y = 2x x2; |
в) y = |
2x |
; |
1+x2 |
||||
г) y = sin x; |
ґ) y = cos x; |
д) y = tg x. |
||
54
20. Довести такi рiвностi:
а) arcsin x + arccos x = 2 , де x 2 [ 1; 1]; б) arctg x + arctgx1 = 2 sgn x, де x 6= 0.
21.Довести, що функцiя f(x) = x1 неперервна на iнтервалi (0; 1), але не є рiвномiрно неперервною на цьому iнтервалi.
22.Довести, що функцiя f(x) = sin x неперервна i обмежена на iнтервалi (0; 1), але не є рiвномiрно неперервною на цьому iнтервалi.
23.Довести, що функцiя f(x) = sin x2 неперервна i обмежена на R, але не є рiвномiрно неперервною на R.
24.Нехай функцiя y = f(x) визначена i неперервна на
промiжку [ |
a; |
+1) |
i iснує скiнченна границя |
lim |
f(x) |
. |
|
x + |
|
||||
|
|
|
|
! 1 |
|
|
Довести, що функцiя f рiвномiрно неперервна на [a; +1).
25.Довести, що необмежена функцiя f(x) = x + sin x рiвномiрно неперервна на R.
26.Довести, що функцiя f(x) = j sinx xj рiвномiрно неперервна на кожному iнтервалi ( 1; 0) i (0; 1), але не є рiвномiрно неперервною на множинi ( 1; 0) [ (0; 1).
27.Нехай функцiя y = f(x) рiвномiрно неперервна на кожному вiдрiзку [a; c] i [c; b]. Довести, що функцiя f рiвномiрно неперервна на вiдрiзку [a; b].
28.Нехай функцiя f : R ! R перiодична з перiодом T > 0. Довести, що функцiя f рiвномiрно неперервна на R тодi i тiльки тодi, коли f рiвномiрно неперервна на деякому вiдрiзку [a; a + T ].
55
29.Дослiдити на рiвномiрну неперервнiсть на множинi X функцiю y = f(x), якщо:
а) f(x) = |
x |
i |
X = [ 1; 1]; |
|||
4 x2 |
||||||
б) f(x) = ln x i X = (0; 1); |
||||||
в) f(x) = |
sin x |
|
i |
X = (0; ); |
||
x |
||||||
|
|
|
|
|||
г) f(x) = excos1 |
i |
X = (0; 1); |
||||
|
|
|
x |
|
|
|
ґ) f(x) = arctg x |
i |
X = R; |
||||
p
д) f(x) = x i X = [1; +1);
е) f(x) = x sin x i X = [0; +1).
30.Для " > 0 знайти = ("), яке задовольняє умови рiвномiрної неперервностi функцiї y = f(x) на множинi X, якщо:
а) f(x) = 5x 3 i X = R;
б) f(x) = x2 2x 1 i X = [ 2; 5];
в) f(x) = x1 i X = [101 ; 1]; p
г) f(x) = x i X = [0; +1);
ґ) f(x) = 2 sin x cos x i X = R;
д) f(x) = x sin x1 , якщо x 6= 0, f(0) = 0 i X = [0; ].
31.На скiльки однакових вiдрiзкiв достатньо розбити вiдрiзок [1; 10], щоб коливання функцiї f(x) = x2 на кожному з цих вiдрiзкiв було менше 0; 0001?
32.Довести, що сума i добуток скiнченної кiлькостi рiвномiрно неперервних на iнтервалi (a; b) функцiй є рiвномiрно неперервними на (a; b) функцiями.
56
33.Нехай функцiя y = f(x) обмежена, монотонна i неперервна на iнтервалi (a; b). Довести, що f рiвномiрно неперервна на (a; b).
34.Довести, що для того, щоб функцiю y = f(x) , визначену i неперервну на iнтервалi (a; b), можна було продовжити до неперервної на вiдрiзку [a; b] функцiї, необхiдно i досить, щоб функцiя f була рiвномiрно неперервною на (a; b).
35.Довести, що для того, щоб функцiю f : X ! R, де X = Q \ [0; 1], можна було продовжити до неперервної на [0; 1] функцiї, необхiдно i досить, щоб функцiя f була рiвномiрно неперервною на X.
57
Роздiл III. Диференцiальне числення функцiй однiєї змiнної
3.1. Похiдна функцiї та її знаходження
Нехай задано функцiю y = f(x) i x0 2 Df – гранична точка множини Df . Для кожного x 2 Df число x = x x0 називається приростом аргументу, а число f(x0) = f(x) f(x0) – вiдповiдним приростом функцiї f у точцi x0.
Якщо iснує скiнченна границя вiдношення приросту функцiї f у точцi x0 до приросту аргументу в цiй точцi при x ! 0, то
вона називається похiдною функцiї f у точцi x0 i позначається f0(x0) або dxdf (x0), тобто
|
f0(x0) = lim |
f(x0) |
|
= |
|
|
|
|
x |
||||
|
x!0 |
|
|
|
||
= lim |
f(x0 + x) f(x0) |
= lim |
f(x) f(x0) |
: |
||
x!0 |
x |
|
x!x0 |
x x0 |
||
Теорема 1. Якщо функцiя f має похiдну в точцi x0, то вона неперервна в цiй точцi.
Теорема 2 (правила знаходження похiдних). Якщо C
– стала, а функцiї u i v мають похiднi в точцi x0, то функцiї |
|||||||||||
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|||
Cu, u v, uv, |
|
|
(якщо v(x0) |
6= 0) також мають похiднi в цiй |
|||||||
|
v |
||||||||||
точцi i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
(Cu)0(x0) = Cu0(x0); |
2) (u v)0(x0) = u0(x0) v0(x0); |
|||||||||
3) |
(uv)0(x0) = u0(x0)v(x0) + u(x0)v0(x0); |
||||||||||
|
u |
0 (x |
) = u0(x0)v(x0) u(x0)v0(x0) |
||||||||
4) |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
. |
|
v |
|
|
|
v2(x0) |
|
||||||
Теорема 3 (похiдна складеної функцiї). Нехай функцiя |
|||||||||||
' : T ! X має похiдну в точцi t0 |
2 T , а функцiя f : X ! Y |
||||||||||
58
має похiдну в точцi x0 = '(t0) 2 X. Тодi складена функцiя g : T ! Y , g(t) = f('(t)), також має похiдну в точцi t0, причому
g0(t0) = f0(x0)'0(t0):
Теорема 4 |
(таблиця похiдних). Якщо C; p 2 R, a > 0 |
(a 6= 1), то для |
всiх тих x, для яких iснують вiдповiднi вирази, |
правильнi такi рiвностi: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1) |
C0 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
(xp)0 = p xp 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
(1 )0 = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(p |
|
)0 = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
4) |
2px ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5) |
(ex)0 = ex; |
|
|
|
|
|
|
|
6) |
(ax)0 = ax ln a; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7) |
(ln x)0 |
= x1 ; |
|
8) |
(loga x)0 |
= |
1 |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x ln |
a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
9) |
(sin x)0 = cos x; |
|
10) |
(cos x)0 |
= sin x; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
11) |
(tg x)0 |
= |
1 |
|
|
; |
|
|
|
12) |
(ctg x)0 |
= |
1 |
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||
cos2 x |
|
sin2 x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
13) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
; |
14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
; |
|||||||||
(arcsin x)0 |
|
= |
|
p |
|
|
(arccos x)0 = |
p |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 x2 |
1 x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
15) |
(arctg x)0 |
= |
1 |
; |
|
16) |
(arcctg x)0 = |
1 |
; |
|
|||||||||||||||||||||||
1+x2 |
|
1+x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
17) |
(sh x)0 |
= ch x; |
|
18) |
(ch x)0 = sh x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
19) |
(th x)0 |
= |
1 |
; |
|
20) |
(cth x)0 |
= |
1 |
. |
|
||||||||||||||||||||||
ch2 x |
|
sh2 x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1. Використовуючи означення похiдної, знайти f0(x), якщо:
а) f(x) = x2, x 2 R; |
б) f(x) = x3, x 2 R; |
||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
в) f(x) = |
|
, x 6= 0; |
г) f(x) = |
|
|
, x 6= 0; |
|||
x |
x2 |
||||||||
ґ) f(x) = p |
|
, x > 0; |
д) f(x) = p3 |
|
, x 6= 0. |
||||
x |
x |
||||||||
2.Знайти f0(1), f0(2) i f0(3), якщо f(x) = (x 1)(x 2)2(x 3)3.
3.Знайти f0( 1) i f0(5), якщо f(x) = (x + 1)(x 5)2.
4.Знайти f0(2), якщо f(x) = x2 sin(x 2).
5.Знайти f0(3), якщо f(x) = x tg (x 3).
59
6. |
Знайти f0 |
(1), якщо f(x) = x + (x 1) arcsin r |
|
x + 1 |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
( 1), якщо f(x) = x + (x + 1) arctg r |
|
|
|
|
|
|||
7. |
Знайти f0 |
|
x |
|
. |
|||||
|
x |
2 |
||||||||
Використовуючи правила знаходження похiдних i таблицю похiдних, знайти похiднi таких функцiй:
8. f(x) = 10x2 18x + 1; |
|
9. f(x) = 8x4 3x3 + |
21 x2 7; |
|||||||||||||||||||||||
10. |
1 |
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
11. |
3 |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||
f(x) = |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
f(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
x2 |
|
|
|
|
|
x |
x3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
12. |
p |
|
|
p3 |
|
4 |
; |
13. |
|
p |
|
|
|
p4 |
|
|
3 |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
f(x) = |
x |
x + |
p4 |
|
f(x) = 4 |
x + 8 |
x |
|
p3 |
|
||||||||||||||||
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||
14. |
f(x) = (x2 1)(x3 + 2); |
15. |
f(x) = (x4 + 2x)(x2 5); |
|
||||||||||||||||||||||
16.f(x) = (1 x)(1 x2)(1 x3);
17.f(x) = (x + 1)(x2 + 2)(x3 + 3);
2x
18. f(x) = 1 x2 ;
x3 + 20 20. f(x) = (x + 1)2 ;
22. f(x) = x(sin x + cos x); 24. f(x) = arccosarcsin xx;
26. f(x) = x2tg x arctg x; 28. f(x) = x4 ln x;
30. f(x) = 11 + lnln xx; 32. f(x) = ex ctg x;
ex arcctg x;
1 + x x2 19. f(x) = 1 x + x2 ;
2x2
21.f(x) = (x 1)3 ;
23. f(x) = arccos x arcsin x;
sin x
25. f(x) = tg x + cos x;
27. f(x) = x4 ctg x arcctg x; 29. f(x) = x3 ln x;
ln x 31. f(x) = ln x + x2 ;
33. f(x) = ex cos x;
ex
35. f(x) = arctg x;
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
x |
|||
|
x |
|
|
|
||||||
36. |
f(x) = |
|
|
; |
37. f(x) = |
|
|
; |
||
|
x |
x |
||||||||
38. |
3 |
|
|
|
39. |
|
4 |
|
||
f(x) = 10x lg x; |
f(x) = 5x lg x; |
|||||||||
40. |
f(x) = 2 sh x 3 th x; |
41. |
f(x) = 4 ch x + 5 cth x; |
|||||||
42. |
f(x) = ch x cth x; |
43. |
f(x) = sh x th x; |
|||||||
44.f(x) = sin x arccos x arctg x ex;
45.f(x) = cos x arcsin x tg x ln x.
Знайти похiднi таких складених функцiй: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
46. |
f(x) = p |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
47. |
f(x) = p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||
1 + x2 |
|
2x + x4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
f(x) = |
3 1 + x |
|
|
f(x) = |
3 2 x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
48. |
|
r |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
49. |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||
|
1 x |
|
|
3 + x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
50. |
f(x) = cos 2x sin 3x; |
|
51. |
f(x) = tg 4x ctg 5x; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
52. |
f(x) = sin(cos x); |
|
53. |
f(x) = cos(sin x); |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
54. |
f(x) = cos3 x; |
|
55. |
f(x) = sin2 x; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
sin2 x |
|
|
|
sin(x3) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
56. |
f(x) = |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
57. |
f(x) = |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
cos(x2) |
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
58. |
f(x) = e x2 ; |
|
59. |
f(x) = ex3 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
60. |
f(x) = ln(ln(ln x)); |
|
61. |
f(x) = lg(lg(lg x)); |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
62. |
f(x) = 3ctg (ln3 x); |
|
63. |
f(x) = 2tg |
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
ln x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
64. |
f(x) = ex + eex + eeex ; |
|
65. |
f(x) = eex + exe + xee ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
66. |
f(x) = ln(x + p |
|
|
|
|
|
67. |
f(x) = ln(ex + p |
|
); |
|||||||||||||||||||||||
x2 1); |
1 + e2x |
||||||||||||||||||||||||||||||||
68. |
f(x) = arcsin(sin x); |
|
69. |
f(x) = arccos(cos x); |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
ch x |
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||
70. |
f(x) = ln(ch x) + |
|
|
|
; |
71. |
f(x) = |
|
xln cth |
|
; |
||||||||||||||||||||||
2ch2x |
sh2x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
72. |
f(x) = x(sin(ln x) cos(ln x)); |
73. f(x) = x |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
f(x) = ln r |
|
1 + sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
74. |
|
; |
|
|
75. f(x) = px x; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 sin x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
76. |
f(x) = arcctg |
sin x + cos x |
|
; |
77. |
f(x) = (sin x)cos x; |
||||
sin x |
cos x |
|||||||||
78. |
|
|
79. |
f(x) = (cos x) |
sin x |
; |
||||
f(x) = 2arctg (x + p1 + x2); |
|
|
||||||||
80. |
f(x) = x + xx + xxx ; |
|
81. |
f(x) = (ln x)x; |
|
|||||
82. |
f(x) = xxe + xex + exx ; |
|
83. |
f(x) = xln x. |
|
|
||||
61
3.2. Геометричний змiст похiдної та його застосування
Нехай l – деяка крива на площинi, M0 2 l – фiксована точка, а M 2 l – довiльна точка кривої l. Пряма M0T називається
дотичною до кривої l у точцi M0, якщо кут мiж прямими M0T i M0M прямує до нуля при M ! M0. Iншими словами, дотична M0T – це граничне положення сiчної M0M при M ! M0.
Нехай задано функцiю y = f(x), яка має похiдну в точцi x0 2 Df . Тодi iснує дотична до графiка цiєї функцiї в точцi x0 i її кутовий коефiцiєнт (тобто тангенс кута нахилу прямої до осi Ox) дорiвнює f0(x0). У цьому полягає геометричний змiст похiдної. Враховуючи це, рiвняння дотичної до графiка функцiї f у точцi x0 має вигляд
y = f0(x0)(x x0) + f(x0):
Нехай задано двi функцiї f та g, якi мають похiднi в точцi x0 i графiки яких перетинаються в цiй точцi. Кутом мiж графiками функцiй f та g в точцi x0 називається кут ' мiж дотичними до графiкiв цих функцiй, проведеними в цiй точцi. Вiн обчисляється за формулою
( |
; |
|
f0(x0) g0(x0) |
|
|
якщо |
f0(x0)g0 |
(x0) = |
|
1: |
||
|
arctg |
|
|
|
; |
якщо |
f0(x |
)g0 |
(x |
) = |
|
1; |
' = |
2 |
1+f0(x0)g0(x0) |
|
0 |
|
0 |
6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скласти рiвняння дотичної до графiка функцiї y = f(x) у точцi x0, якщо:
1. |
f(x) = x3, x0 = 1; |
2. |
f(x) = x3 3x, x0 = 2; |
||||||||
3. |
f(x) = 3 2x2, x0 = 2; |
4. |
f(x) = (3x 7)3, x0 = 3; |
||||||||
5. |
2 |
, x0 = 1; |
6. |
3 |
|
, x0 = 1; |
|||||
f(x) = |
|
|
f(x) = |
|
|
||||||
x |
x2 |
||||||||||
7. |
p |
|
|
8. |
p |
|
|
||||
f(x) = x, x0 = 4; |
f(x) = 2x 1, x0 = 5; |
||||||||||
62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
x2 1 |
, |
|
|
|
|
|
10. |
f(x) = xp |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
f(x) = |
x |
|
= |
2 |
x |
|
1 |
x |
|
= 2 |
||||||||||
|
x |
|
0 |
|
|
; |
|
|
|
|
0 |
; |
||||||||
11. |
f(x) = sin x, x0 = 0; |
|
|
|
12. |
f(x) = cos 2x, x0 = |
|
|
; |
|||||||||||
|
|
|
12 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13. |
f(x) = sin2 3x, x0 = |
|
; |
|
14. |
f(x) = tg (x 4 ), x0 = 2 ; |
||||||||||||||
12 |
|
|||||||||||||||||||
15. |
f(x) = x2e x, x0 = 1; |
|
16. |
f(x) = x(ln x 1), x0 = e. |
||||||||||||||||
17.Знайти кут нахилу до осi Ox дотичної до графiка функцiї f(x) = x2 ln x у точцi x0 = 1.
18.Пiд яким кутом до осi Ox нахилена дотична, проведена до графiка функцiї f(x) = 2x3 x у точцi його перетину з вiссю Oy?
19.В яких точках дотична до графiка функцiї f(x) = 13 x3 52 x2 + 7x 4 утворює з вiссю Ox кут 45o?
20.В яких точках кутовий коефiцiєнт дотичної до графiка функцiї f(x) = 2x3 2x2 + x 1 дорiвнює 3?
21.Знайти кут, який утворює з вiссю ординат дотична до
графiка функцiї f(x) = 23 x5 19 x3, проведена в точцi з абсцисою x0 = 1.
22.Пiд яким кутом графiк функцiї f(x) = ex перетинає вiсь
Oy?
23.Пiд яким кутом нахилена до осi Ox дотична, проведена до графiка функцiї f(x) = x3 x2 7x + 6 у точцi M(2; 4)?
24.На графiку функцiї y = x(x 4)3 знайти точки, в яких дотичнi паралельнi до осi Ox.
25.Довести, що дотичнi, проведенi до графiка функцiї f(x) =
x 4 в точках його перетину з осями координат, паралельнi.
x 2