Matan

92

36.Довести, що множина A Rm компактна тодi i тiльки

тодi, коли з довiльної послiдовностi (xn)1n=1 елементiв xn iз A можна видiлити пiдпослiдовнiсть (xnk )1k=1, збiжну до деякого елемента x0 2 A.

8.2.Область визначення функцiї багатьох змiнних.

Нехай X Rm. Функцiєю f : X ! R називається певне

правило, за яким кожному x 2 X ставиться у вiдповiднiсть єдине y 2 R, яке називається значенням функцiї f у точцi x i позначається f(x). При цьому множина X називається областю визначення функцiї f i позначається Df , а множина f(X) = ff(x) : x 2 Xg називається множиною значень функцiї f i позначається Ef .

Функцiя f : X ! R, визначена на деякiй множинi X Rm, називається функцiєю m змiнних. Її позначають також так:

8.3. Границя i неперервнiсть функцiї багатьох змiнних.

Точка a 2 Rm називається граничною точкою множини

A Rm, якщо для довiльного околу U точки a множина A \ U нескiнченна.

Нехай X Rm, f : X ! R i a = (a1; a2; : : : ; am) – гранична точка множини X.

94

Число b 2 R називається границею функцiї f при x ! a i позначається

xm!am

якщо для довiльного " > 0 iснує таке > 0, що jf(x) bj < ", як тiльки d(x; a) < .

Теорема 8.1. Нехай (a; b) – гранична точка множини X Y R2, на якiй визначена функцiя f(x; y), iснує подвiйна границя lim f(x; y) i для кожного y 2 Y iснує границя lim f(x; y). Тодi

iснує повторна границя lim lim f(x; y), причому

y!b x!a

lim lim f(x; y) = lim f(x; y):

Функцiя f : X ! R, де X Rm, називається неперервною в точцi x0 2 X, якщо для довiльного " > 0 iснує таке > 0, що для довiльного x 2 X з нерiвностi d(x; x0) < випливає нерiвнiсть jf(x) f(x0)j < ". Зокрема, якщо x0 2 X – гранична точка областi визначення X функцiї f, то f неперервна в

точцi x0 тодi i тiльки тодi, коли lim f(x) = f(x0). Функцiя, не-

x!x0

перервна в кожнiй точцi своєї областi визначення, називається

неперервною.

Аналогiчно вводиться поняття границi i неперервностi для вiдображення f : X ! Y , де X Rm i Y Rn. Наприклад, вiдображення f : X ! Y неперервне в точцi x0 2 X, якщо для довiльного " > 0 iснує таке > 0, що для довiльного x 2 X з нерiвностi d(x; x0) < випливає нерiвнiсть d(f(x); f(x0)) < ".

Множина X Rm називається зв’язною або лiнiйно зв’язною, якщо для довiльних точок a; b 2 X iснує таке неперервне вiдображення f : [0; 1] ! X, що f(0) = a i f(1) = b.

Теорема 8.2 (теорема Больцано–Кошi). Нехай X Rm –

зв’язна множина, f : X ! R – неперервна функцiя, a; b 2 X, A = f(a) i B = f(b). Тодi для довiльного C 2 [A; B] iснує таке c 2 X, що f(c) = C.

95

Теорема 8.3 (перша теорема Вейєрштрасса). Кожна неперервна на компактнiй множинi K Rm функцiя f : K ! R обмежена.

Теорема 8.4 (друга теорема Вейєрштрасса). Нехай функцiя f : K ! R неперервна на компактнiй множинi K Rm. Тодi f має на K найбiльше i найменше значення.

Знайти lim lim f(x; y) i lim lim f(x; y), якщо:

9.f(x; y) = xy1 tg1 +xyxy , a = 0, b = 1;

10.f(x; y) = logx(x + y), a = 1, b = 0.

96

97