Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matan

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

711.57 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

1)функцiя f монотонна на [a; !);

2)lim f(x) = 0;

x!!

3) iснує таке C > 0, що для всiх A 2 (a; !) виконується

нерiвнiсть	R	C.
нерiвнiсть	A g(x) dx	C.

	a

Теорема 6.7 (oзнака Абеля). Iнтеграл		!
Теорема 6.7 (oзнака Абеля). Iнтеграл		f(x) g(x) dx збiга-
ється, якщо виконуються такi умови:		Ra
1)	функцiя f монотонна на [a; !);
2)	функцiя f обмежена на [a; !);
3)	!
3)	iнтеграл R g(x) dx збiжний.

Дослiдити на абсолютну й умовну збiжностi такi невласнi iнтеграли:

1.	+1	px3 + 1 dx;
	Z1
		cos 2x
3.	+1	x2 + 3 dx;
	Z0
		arctg x
5.	+1	x dx;
	Z0
		sin x
	+1p			cos 5x
			x
7.	Z0				dx;
		x + 10
	+1
9.	Z	arcctg x sin 2x				dx;

			ln(x + 2)

	+1
	Z	sin 3x
2.		p3				dx;
2.		p3	x4 + 1			dx;
	1
4.	+1	x3 + 4 dx;
4.	Z	x3 + 4 dx;
		arcctg x
	0
	+1
	Z	cos x
6.		p			dx;
6.		p		x	dx;
	1
8.	+1	x2 + 6 dx;
8.	Z0	x2 + 6 dx;
		x sin 4x
	+1
10.	Z	arctg x cos x					dx;

		ln(x + 3)

	+1
11.	Z sin 2x x + cos x dx;

x 1 + x + cos x

0 +1

13.x2 cos(ex) dx;

Zsin 1 dx

15.xp ;

x2 + x3

	+1
12.	Z cos 3x x + sin x dx;

x 2 + x + sin x

1 +1

14.x sin(ex) dx;

	0
	1
16.	Z0	x px					.
16.	Z0	x px			px		.
		1	cos	px 1		dx

Дослiдити на абсолютну та умовну збiжнiсть при всiх значеннях параметрiв такi невласнi iнтеграли:

cos ax

17. xp dx;

1 +1

Zxp sin x

19.x3 + 1 dx;

1 +1

21. xp sin(xq) dx (q 6= 0);

18.	+1	xp	dx;
	Z1
		sin ax
	+1xp cos x
20.	Z2			dx;
		ln x
	+1xp sin x
22.	Z0			dx (q 6= 0).
		1 + xq

Роздiл VII. Числовi ряди

7.1. Сума числового ряду. Необхiдна умова збiжностi ряду. Критерiй Кошi.

Числовим рядом, або просто рядом, називається нескiнченна

сума	1
	X
	a1 + a2 + : : : + an + : : : = an;	(7:1)

n=1

де (an)1n=1 – довiльна числова послiдовнiсть. Доданок an називається загальним членом ряду (7.1).

Для кожного n 2 N сума

Sn = a1 + a2 + : : : + an

називається n-ю частинною сумою ряду (7.1).

Числовий ряд називається збiжним, якщо iснує скiнченна границя S послiдовностi (Sn)1n=1 його частинних сум. При цьому число S називається сумою ряду. Якщо границi послiдовностi (Sn)1n=1 не iснує або вона нескiнченна, то ряд називається розбiжним. При цьому, у випадку нескiнченної границi, вважають, що сума числового ряду дорiвнює вiдповiднiй нескiнченностi (+1 чи 1), а в iншому випадку числовий ряд суми не

має.

Для збiжного ряду an його суму S позначають також че-

1	1	n=1
		n

P	P		!1 kP
рез an, тобто		an = lim ak.
n=1	n=1	n	=1

Теорема 7.1 (необхiдна умова збiжностi ряду). Якщо ряд

(7.1) збiжний, то lim an = 0.

n!1

Для кожного n 2 N ряд

rn = an+1 + an+2 + : : :

називається n-м залишком ряду (7.1).

Теорема 7.2. Якщо ряд (7.1) збiгається, то кожний його залишок також збiгається. Якщо хоча б один залишок ряду (7.1) збiгається, то i сам ряд збiгається.

Для збiжного числового ряду (7.1) iз сумою S для кожного n 2 N має мiсце рiвнiсть S = Sn + rn.

Теорема 7.3. Якщо ряд (7.1) збiжний, то lim rn = 0.

n!1

Теорема 7.4 (критерiй Кошi). Числовий ряд (7.1) збiжний тодi i тiльки тодi, коли для довiльного " > 0 iснує таке N 2 N, що для всiх n N i p 2 N виконується нерiвнiсть

jan+1 + an+2 + : : : + an+pj < ":

		1	1
		nP	P
Теорема 7.5. Нехай c 2 R,		=1 an i n=1 bn – збiжнi ряди. Тодi:
	1		1	1	1
1)	P		P	nP	P
1)	ряд n=1(an bn) збiжний i n=1(an bn) =			=1 an n=1 bn;
	1	1	1
2)	P	P	nP
2)	ряд can збiжний i		can = c an.
	n=1	n=1	=1

Довести збiжнiсть наведених нижче рядiв i знайти їх суми:

1.		1	+		1		+		1	+ : : : +								1	+ : : : ;

		2			4				8									n
		2			4				8					2
2.	1				1		+		1			1	+ : : : +							( 1)n 1			+ : : :	;
	1						+						+ : : : +										+ : : :
					2 4					8					+ 32						2n 1		2n		+ : : : ;
3.	2			+ 3 +							22				+ 32					+ : : : +			2n	+ 3n	+ : : : ;
			1				1				1			1									1	1
4.	6			+ 7 +							62				+ 72					+ : : : +			6n	+ 7n	+ : : : ;
			1				1				1			1									1	1
5.		5	+			13		+ : : : +						3n + 2n						+ : : : ;
5.		6	+					+ : : : +								6n				+ : : : ;
		6			36											6n
6.		1		+			9		+ : : : +							5n 4n					+ : : : ;
6.	20			+			40		+ : : : +												+ : : : ;
	20						40										20n
7.			1		+				1		+ : : : +									1		+ : : : ;
7.					+					3	+ : : : +											+ : : : ;
		1 2 2								3								n(n + 1)

8.			1		+				1		+ : : : +								1					+ : : : ;
8.	1			3	+				3		+ : : : +													+ : : : ;
	1			3					3	5						(2n 1)(2n + 1)
9.			1		+				1		+ : : : +						1				+ : : : ;
9.	1				+						+ : : : +										+ : : : ;
	1			3 2						4						n(n + 2)
10.			1		+				1		+ : : : +								1				+ : : : ;
10.	2			5	+				3		+ : : : +					(n + 1)(n + 4)							+ : : : ;
	2			5					3	6						(n + 1)(n + 4)
11.				1				+		1					+ : : : +				1						+ : : : ;

	1		2 3							2 3 4								n(n + 1)(n + 2)
12.		3	+			5		+ : : : +							2n + 1				+ : : : ;
12.	4		+		36			+ : : : +							2		2		+ : : : ;
	4				36									n (n + 1)
13.		1	+			3		+ : : : +					2n 1				+ : : : ;
13.	2		+		22			+ : : : +							2n		+ : : : ;								jqj < 1;
	2				22										2n
14.	q sin + q2 sin 2 + : : : + qn sin n + : : : ,
15.	q cos + q2 cos 2 + : : : + qn cos n + : : : ,																								jqj < 1;
	1				p						p						p
16.	X																			);
16.				( n + 2 2											n + 1 +				n	);
	n=1
17.	arctg						1		+ arctg			1			+ : : : + arctg							1	+ : : : .
17.	arctg								+ arctg						+ : : : + arctg							2n2	+ : : : .
					2					8												2n2

Користуючись необхiдною умовою збiжностi ряду, довести розбiжнiсть таких рядiв:

18. 1 1 + 1 1 + : : : ;

19.0:001 + 0:001 + 3 0:001 + : : : ;

2n2 + 1

20.

;

21.

;

1 6n2

n=1

n + 1

n=1

3n 2

n 3

22.

;

23.

n=1

n + 2

n=1

n + 2

;

24.	1	1	;	25.	1	1	.
	n=1 n sin n				n=1 n ln 1 + n
	X				X

З допомогою критерiю Кошi дослiдити на збiжнiсть такi ряди:

	1	5
26.	X			;
26.	X	n 10n		;
	n=1
	1	arctg(n!)
28.	X				;
28.	X		3n		;
	n=1
30.	1	1	;


		n

n=1

27.	1	sin n	;

		n
	n=1	2
	X
29.	1	cos n cos(n + 1)				;
29.	n=1	cos n cos(n + 1)				;
	n=1			n
	X
	1
31.	X		1		;
		p
		p

n=1	n(n + 1)

32.1 + 12 13 + 14 + 15 16 + : : : .

7.2.Ознаки збiжностi додатних рядiв.

Числовий ряд an називається додатним, якщо an 0 для

n=1

всiх n 2 N.

Теорема 7.6 (oзнака порiвняння у формi нерiвностей).

Нехай N 2 N таке, що 0 an bn для всiх n N. Тодi:

	1	1	1
1)	P	P	1
1)	якщо ряд	bn збiжний, то ряд	an збiжний;
	n=1	n=1
	1	nP
2)	P	nP
2)	якщо ряд	an розбiжний, то ряд	bn розбiжний.
	n=1		=1

Теорема 7.7 (oзнака порiвняння у граничнiй формi). Не-

an	i N 2 N таке, що an 0 i bn > 0 для всiх n N.
хай L = nlim!1 bn	i N 2 N таке, що an 0 i bn > 0 для всiх n N.
Тодi:	1	1
1) якщо 0 L < +1 i ряд n=1 bn збiжний, то ряд		=1 an
збiжний;	P	nP

		67
	1	1
2) якщо 0 < L +1 i ряд n=1 an збiжний, то ряд		=1 bn
збiжний;	P	nP

3) якщо 0 < L < +1 (зокрема, якщо an bn при n ! 1), то

1	1			1
P	1			nP
ряд an збiжний тодi i тiльки тодi, коли ряд				bn збiжний.
n=1				=1
Для додатного ряду	an число Cn = p		називається варi-
Для додатного ряду	an число Cn = p	an	називається варi-
	n
антою Кошi.	=1
антою Кошi.	nP

Теорема 7.8 (oзнака Кошi у формi нерiвностей). Якщо

iснує такий номер N, що для всiх n N виконується нерiв-

нiсть Cn q, де q < 1, то ряд an збiжний. Якщо ж iснує

n=1

така послiдовнiсть номерiв (nk)1k=1, що Cnk 1 для всiх k 2 N,

то ряд an розбiжний.

n=1

Теорема 7.9 (oзнака Кошi у граничнiй формi). Нехай

C = lim Cn. Тодi:
n!1
1
P	an збiжний;
1) якщо C < 1, то ряд	an збiжний;
n=1
1	1
nP	1
2) якщо C > 1, то ряд	an розбiжний;
=1

3) якщо C = 1, то про збiжнiсть ряду	an нiчого сказати
не можна.	=1
не можна.	nP

Нехай ряд an строго додатний, тобто an > 0 для всiх n 2 N.

n=1

Число Dn = an+1 називається варiантою Даламбера. an

Теорема 7.10 (oзнака Даламбера у формi нерiвностей).

Якщо iснує такий номер N, що для всiх n N виконується

	1
	nP
нерiвнiсть Dn q, де q < 1, то ряд	=1 an збiжний. Якщо ж

iснує такий номер N, що Dn 1 для всiх n N, то ряд	1
iснує такий номер N, що Dn 1 для всiх n N, то ряд	=1 an
розбiжний.	nP

Теорема 7.11 (oзнака Даламбера у граничнiй формi).
Нехай D = lim Dn. Тодi:
n!1	1
1) якщо D < 1, то ряд	P
1) якщо D < 1, то ряд	an збiжний;
	n=1
	1	1
2) якщо D > 1, то ряд	nP	1
2) якщо D > 1, то ряд	an розбiжний;
	=1
3) якщо D = 1, то про збiжнiсть ряду		an нiчого сказати
не можна.		=1
не можна.		nP
	1		an
Для строго додатного ряду n=1 an число Rn = n				1
Для строго додатного ряду n=1 an число Rn = n			an+1	1
називається варiантою Раабе. P

Теорема 7.12 (oзнака Раабе у формi нерiвностей). Якщо

iснує такий номер N, що для всiх n N виконується нерiв-

нiсть Rn r > 1, то ряд an збiжний. Якщо ж iснує такий

n=1

	1
	nP
номер N, що Rn 1 для всiх n N, то ряд	=1 an розбiжний.

Теорема 7.13 (oзнака Раабе у граничнiй формi). Нехай

R = lim Rn. Тодi:

n!1

	1
1)	P	an збiжний;
1)	якщо R > 1, то ряд	an збiжний;
	n=1
	1	1
2)	nP	1
2)	якщо R < 1, то ряд	an розбiжний;
	=1

3) якщо R = 1, то про збiжнiсть ряду	an нiчого сказати
не можна.	=1
не можна.	nP

Теорема 7.14 (iнтегральна ознака Кошi). Нехай f – монотонно спадна додатна функцiя на [1; +1), an = f(n). Ряд

				69
1				+1
P				R
an збiжний тодi i тiльки тодi, коли iнтеграл				f(x) dx
n=1				1
збiжний.
Числовий ряд	1	1	називається гармонiйним	рядом p-го
Числовий ряд	1	p	називається гармонiйним	рядом p-го
	=1	n
степеня.	=1
степеня.	nP

Теорема 7.15. Гармонiйний ряд p-го степеня збiжний тодi i тiльки тодi, коли p > 1.

З допомогою ознак порiвняння дослiдити на збiжнiсть ряди:

;

n=1

4n + 5

n=1

(n + 1)(n + 4)

1 + n2

;

+ 1

;

n=1

1 + n3

n=1

2n2 1

n + 1

;

n 3

;

n=1

n(n + 2)

n=1

n(3n + 1)

;

n + 1

;

n=1

n + 2n

n=1

n + 2012n

;

10.

;

6 3

n=1

n + 2n

n=1

n + n

+ 1

arctg(2 + ( 1)n)

cos(6 + ( 1)n)

11.

;

12.

;

n2 + 3

n=1

n3 + 2

13.

;

14.

;

n=1

ln(n + 1)

n=1

ln(n2 + 1)

ln n

ln(n3 + 1)

15.

;

16.

;

n=2

n=1

n3 + 4

ln n

17.

;

n=2

19.

n=1

( n

n 1);

21.

n + 1

n 1;

n=1

23.

n=1

2 + n1

;

25.

sin

;

n=1

1 p

27.( n e 1);

n=1

X 1

29. arctg n2 + 2;

n=1

1n2 + 1

31.ln n2 ;X

n=1

1 cos

33.

+ 1

;

n=1

1 +

35.

n=1

;

ne n

37.

;

2n3 + 5

n=1

X ln n

18. pn ;

n=2

1 p

20.( n2 + 3 n);

n1=1 p

;

22.

n2 + 2n

n2 n

n=1

n2 + 1

n=1

24.

;

26.

;

n=1

X3n + 1

28.ln 3n ;1

n=1

30.

arcsin

;

n=1

n + 1

32.

n + 2

;

n=1

n + 1

;

34.

n + 1

n=1

1 cos n2 + 4

36.

1 + sin 1

n=1

;

38.

n + p3

;

n3 n + 3

3n+1(n5 + 1)3

n=1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.11.20181.67 Mб25marketing new part 1.doc
#
01.05.2025125.44 Кб0marketing1.doc
#
29.09.2019150.2 Кб3Marketingovi_doslidzhennya_Vosstanovlen.docx
#
30.04.2019368.13 Кб3marketing_11-12_OEF_ep.doc
#
01.03.20251.38 Mб1Marketing_shpori.docx
#
23.02.2016711.57 Кб36Matan.pdf
#
19.09.2019410.9 Кб5matematika.docx
#
21.12.201891.9 Кб7matematuka.docx
#
18.12.2018134.66 Кб6materiali_do_lektsiyi_Fenomen_svidomosti.doc
#
23.02.2016773.12 Кб66Materialna_tochka.doc
#
28.07.201936.24 Кб3maugham 7-9.docx