Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matan

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

711.57 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

111

33.

u = f x;

;

34.

u = f(x + y; xy);

35.

u = f(x; xy; xyz);

36.

u = f(xy; yz; zx).

Знайти другий диференцiал функцiї z = z(x; y), якщо:

37.

z = x(1 + y);

38.

z = x sin2 y;

exy

39.

z =

;

40.

z = y ln x;

41.

z = ln(x2 + y2);

42.

z = arcsin(xy);

ex2 ;

43.

z = e

;

44.

z =

45.

z = x cos(xy);

46.

z = 4y2 + sin2(x y);

47.

z = (2x + y) ln

;

48.

z = ey ln x;

2 y x2

49.

z = exy sin y;

50.

z = ln

;

2 + y + x2

51.

z = arctg(x2 2y);

52.

z = y arctg

;

1 + 2y

53.

z = (x + y)xy;

54.

z = (sin x)cos y.

Знайти другий диференцiал функцiї u = u(x; y; z), якщо:

55.

u = xy + yz + xz;

56.

u = ln(x + y + z);

57.

u = x4 + 2y3x + 3z2y;

58.

u = (1 + x)(1 + y)2z3;

59.

u =

;

60.

u =

x2 + y2

Знайти диференцiали другого порядку вiд наведених нижче складених функцiй, де f – двiчi диференцiйовна функцiя вiдповiдної кiлькостi змiнних, а x; y; z – незалежнi змiннi:

61. u = f(t), де t = x + y; 62. u = f(t), де t = xy;

112
63.	u = f(t), де t = xyz;			64.	u = f(t), де t =		x	;

							y
65.	u = f(x2 + y2 + z2);			66.	u = f(x + y2 + z3);
67.	u = f(p		);	68.	u = f(p				);
		x2 + y2				x3 + y3 + z3

69.u = f(s; t), де s = 2x i t = 3y;

70.u = f(s; t), де s = x + y i t = x y;

71.u = f(s; t), де s = x + y i t = xy;

72.u = f(s; t), де s = xy i t = xy ;

73.	u = f(x + y; z);					74.	u = f(x y; y z);
	y		2		3
75.	u = f	x	;	y	;	76. u = f(x+y+z; x2+y2+z2);
75.	u = f		;	z	;	76. u = f(x+y+z; x2+y2+z2);
				z
77.	u = f(x; x ; x );					78.	u = f(x; 2y; 3z).

Вiдображення (оператор), яке кожнiй двiчi диференцiйовнiй функцiї ставить у вiдповiднiсть суму її чистих похiдних другого порядку, називається оператором Лапласа i позначається через

, тобто

@2u

u =

@x2

@y2

для двiчi диференцiйовної функцiї u = f(x; y) i

@2u

u =

@x2

@y2

@z2

для двiчi диференцiйовної функцiї u = f(x; y; z).

Знайти u, якщо:

79.

;

80.

;

sin x ch y

u = ln

x2 + y2

81.

u = x

+ y

+ z 3xyz;

82. u =

;

x2 + y2 + z2

83.

u = f(

+ y2 + z2);

84. u = fp(x+y+z; x2+y2+z2).

113

83.

Функцiя u

= f(x; y) задовольняє умову u

= 0, тоб-

то є розв’язком рiвняння Лапласа. Довести, що функцiя

також є розв’язком рiвняння Лапласа.

v = f

;

x +y

84.

Довести, що для фiксованих сталих a; b

2 R

функцiя

(x b)2

u =

2ap

4a2t

є розв’язком рiвняння теплопровiдно-

стi @u

= a2

@2u

85.

Нехай '; : R ! R – двiчi диференцiйовнi функцiї i

a 2 R. Довести, що функцiя u = '(x at) +

(x + at)

є розв’язком рiвняння коливання струни @@t22u = a2 @@x2u2 .

86.Нехай '; : R ! R – двiчi диференцiйовнi функцiї. До-

вести, що функцiя u = x '(x + y) + y (x + y) є розв’язком

рiвняння @@x2u2 2@x@2@yu + @@y2u2 = 0.

87. Нехай '; : R ! R – двiчi диференцiйовнi функцiї. Довести, що функцiя u = ' xy +x xy є розв’язком рiвнян-

ня x2 @@x2u2 + 2xy @x@2@yu + y2 @@y2u2 = 0.

88. Нехай '; : R ! R – двiчi диференцiйовнi функцiї. Довести, що функцiя u = '(x + (y)) є розв’язком рiвняння

@u@x @x@2@yu = @u@y @@x2u2 .

8.6. Неявно заданi функцiї.

Нехай P R2, F : P ! R, X R i f : X ! R. Кажуть, що функцiя y = f(x) задається неявно за допомогою рiвностi

F (x; y) = 0;

(8:4)

якщо (x; f(x)) 2 P i F (x; f(x)) = 0 для кожного x 2 X. У такому випадку також говорять, що рiвняння (8.4) неявно задає функцiю f. При цьому звертають увагу на такий зв’язок мiж функцiями F i f: якщо для фiксованого x 2 X рiвнiсть (8.4) розглядати як рiвняння вiдносно змiнної y, то значення функцiї f у точцi x є розв’язком цього рiвняння.

114

Неявно задана функцiя називається також неявною функцiєю. Зауважимо, що хоча термiн ”неявна функцiя” за своєю формою стосується функцiї, насправдi вiн вказує лише на спосiб задання цiєї функцiї i не має вiдношення до її природи. Так, наприклад, рiвнiсть

x2 + y2 = 1

неявно

задає двi

неперервнi

функцiї

y =

1 x2

y =

1 x

Теорема 8.11. Нехай виконуються такi умови:

функцiя F (x; y) неперервна на прямокутнику

[x0 a; x0 + a] [y0 b; y0 + b];

2) F (x0; y0) = 0;

фiксованого

[x0

a; x0 + a] функцiя

x3)

для кожного

[y0 b; y0 + b] ! R, F

(y) = F (x; y), строго зростає на

вiдрiзку [y0 b; y0 + b].

Тодi на деякому околi U точки x0 рiвняння (8.4) визначає єдину неперервну функцiю y = f(x), таку, що f(x0) = y0 i

F (x; f(x)) = 0

для кожного x 2 X.

Теорема 8.12. Нехай виконуються такi умови: 1) функцiя F (x; y) неперервна на прямокутнику

P= [x0 a; x0 + a] [y0 b; y0 + b];

2)iснують неперервнi на P частиннi похiднi Fx0 , Fy0;

3)F (x0; y0) = 0;

4)Fy0(x0; y0) 6= 0.

Тодi в деякому околi точки (x0; y0) рiвняння (8.4) визначає єдину функцiю y = f(x), яка є неперервно диференцiйовною, причому f(x0) = y0 i

f0(x0) = Fx00(x0; y0): Fy(x0; y0)

115

Нехай P Rm+1, F : P ! R, X Rm i f : X ! R. Рiвняння

(чи рiвнiсть)

F (x1; x2; : : : ; xm; y) = 0

(8:5)

неявно задає функцiю y = f(x1; : : : ; xm), якщо

(x1; : : : ; xm; f(x1; ::: ; xm)) 2 P i F (x1; : : : ; xm; f(x1; ::: ; xm)) = 0

для всiх (x1; : : : ; xm) 2 X.

Теорема 8.13. Нехай виконуються такi умови:

1) функцiя F (x1; : : : ; xm; y) неперервна на паралелепiпедi

P = [x(0)k ak; x(0)k + ak] [y0 b; y0 + b];

k=1

2)iснують неперервнi на P частиннi похiднi Fx01 ; ::: ; Fx0m , Fy0;

3)F (x(0)1 ; : : : ; x(0)m ; y0) = 0;

4)Fy0(x(0)1 ; : : : ; x(0)m ; y0) 6= 0.

Тодi в деякому околi точки x0 = (x(0)1 ; : : : ; x(0)m ) рiвняння (8.5) визначає єдину функцiю y = f(x1; : : : ; xm), яка має неперервнi частиннi похiднi, причому y0 = f(x0) i

fx0 (x0) = Fx00k (x0; y0) k Fy(x0; y0)

для кожного k = 1; : : : ; n.

Нехай P Rm+n, F1; : : : ; Fn : P ! R – функцiї (m + n) змiнних, X Rm i f1; : : : ; fn : X ! R – функцiї m змiнних. Система рiвнянь

8 F1(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn) = 0;

< F2(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn) = 0; (8:6)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fn(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn) = 0;

визначає функцiї y1 = f1(x1; : : : ; xm), : : : , yn = fn(x1; : : : ; xm)

неявним чином, якщо для кожної точки (x1; : : : ; xm) 2 X виконуються такi умови:

(x1; : : : ; xm; f1(x1; ::: ; xm); : : : ; fn(x1; ::: ; xm)) 2 P;

116

F1(x1; : : : ; xm; f1(x1; ::: ; xm); : : : ; fn(x1; ::: ; xm)) = 0;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fn(x1; : : : ; xm; f1(x1; ::: ; xm); : : : ; fn(x1; ::: ; xm)) = 0:

Для функцiй

F1(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn); : : : ; Fn(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn)

з системи (8.6) позначимо через J якобiан D(F1;:::;Fn) , тобто такий

D(y1;:::;yn)

визначник:

@F1

@F2

: : :

@Fn

@F1

@F2

@Fn

@y2

: : :

@y2

@y1

J =

: : :

(8:7)

: : :

@yn

(0)

, y0

Теорема 8.14. Нехай

(x1

; : : : ; xm )

(y1(0); : : : ; yn(0)) 2 Rn i виконуються такi умови:

1) для кожного i = 1; : : : ; n функцiя Fi(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn)

неперервна на (m + n)-вимiрному паралелепiпедi

m		n
Y	[xk(0) ak; xk(0) + ak]	kY
P =	[xk(0) ak; xk(0) + ak]	[yk(0) bk; yk(0) + bk];
k=1		=1

2)iснують неперервнi на множинi P всi частиннi похiднi першого порядку функцiй F1, : : : , Fn;

3)Fi(x0; y0) = 0 для кожного i = 1; : : : ; n;

4)J(x0; y0) 6= 0.

Тодi в деякому околi точки x0 система (8.6) однозначно визначає функцiї y1 = f1(x1; : : : ; xm), : : : , yn = fn(x1; : : : ; xm), якi є неперервними i мають неперервнi всi частиннi похiднi першого порядку, причому

(f1(x0); : : : ; fn(x0)) = y0:

Зауважимо, що для кожного k = 1; : : : ; m частиннi похiднi

@y1 ; : : : ; @yn функцiй y1 = f1(x1; : : : ; xm), : : : , yn = fn(x1; : : : ; xm),

@xk @xk

d(x) =

117

заданих системою (8.6), можна знайти, розв’язавши таку систему:

@F1

@F1 @y1

+ : : : +

@F1 @yn

@F2 + @F2 @y1

@F2 @yn = 0;

@xk

@y1 @xk

+ : : : +

@yn @xk

= 0;

@xk

@y1 @xk

@yn @xk

. . .

. .

. . . . . . .

. .

. . . .

. .

. . . . . . .

. . .

@Fn

@Fn @y1

@Fn @yn

@xk

@y1 @xk

+ : : : +

@yn @xk

= 0:

диференцiали> dy1; : : : ; dyn цих функцiй є розв’язками такої

системи:

@F1 dx1 + : : : + @F1 dxm + @F1 dy1 + : : : + @F1 dyn = 0;

@F2

dx1 + : : : +

@F2 dxm +

@F2

dy1 + : : : +

@F2

dyn = 0;

@x1

@xm

@y1

@yn

@x1

@xm

@y1

@yn

. . .

. . . . . . .

. . . .

. .

. . . . . . .

. .

. . . .

. .

. . . . . .

. . . .

. . .

. . . . . . . .

@Fn

dx1 + : : : +

@Fn

dy1 + : : : +

@Fn

dyn = 0:

@x1

@xm dxm +

@y1

@yn

1. Довести, що розривна в кожнiй точцi функцiя Дiрiхле y = d(x),

1; x 2 Q;

0; x 2 I;

задовольняє рiвнiсть y2 y = 0, тобто визначається неявно цiєю рiвнiстю. Якi неперервнi функцiї y = f(x), визначенi на R, задаються неявно рiвнiстю y2 y = 0?

2.Нехай функцiя y = f(x), визначена на [ 1; 1], задається неявно рiвнянням x2 + y2 = 1.

а) Скiльки є таких рiзних функцiй f?

б) Скiльки є таких рiзних неперервних функцiй f?

Знайти похiднi y0 функцiй y = f(x), якi визначаються неявно такими рiвностями:

3. x3 + y3 = 1;	4. x4 y4 = 2;
5. x3y y3x = a4;	6. x2y2 x4 y4 = a4;
7. (x2 +y2)2 a2(x2 y2) = 0;	8. xey + yex exy = 0;

118

2	2	2
9. sin(xy) exy x2y = 0; 10. x3	+ y 3	= a3 .

Знайти похiднi y0 та y00 функцiй y = f(x), якi визначаються

неявно такими рiвностями:

11.

x2 2xy y2 = 1;

12. x2 + 2xy y2 = a2;

13.

xy ln y = a;

14. y a sin y = x (0 < a < 1);

x + y

15.

ln x2

+ y2 = arctg

;

16. arctg

= 0;

17.

4y = xex ;

18. y = 2xarctg

;

19.

xy = yx;

20. yx2 = ey.

21.

Нехай k 2 R i функцiя y = f(x) визначається неявно

рiвнянням

1 + xy = k(x y):

Довести, що

1 + x2

1 + y2

22.

Функцiя y = f(x) визначається неявно рiвнянням

x2y2 + x2 + y2 = 1;

причому xy > 0 для кожного x 2 Df . Довести, що

1 x2

1 y2

Функцiя

y = f(x) визначається неявно вiдповiдним рiвнян-

ням.

23.Знайти y0 при x = 0, y = 0, якщо (x2 + y2)2 = 3x2y y3.

24.Знайти y0 при x = 6, y = 2 та при x = 6, y = 8, якщо x2 + y2 4x 10y + 4 = 0.

25.Знайти y0 при x = y = a, якщо x4y + xy4 ax2y2 = a5.

119

26.Знайти y0, y00 та y000 при x = 0, y = 1, якщо x2 xy + 2y2 + x y 1 = 0.

27.Знайти y0, y00 та y000, якщо x2 + xy + y2 = 3.

Знайти частиннi похiднi zx0 i zy0 функцiї z = f(x; y), яка визначається неявно такими рiвняннями:

28.	z3 + 3xyz = a3;	29. x2 2y2+z2 4x+2z 5 = 0;
30.	ez xyz = 0;	31. z3 + 3x2z = 2xy.

Знайти всi частиннi похiднi першого i другого порядкiв для функцiї z = z(x; y), яка визначається неявно такими рiвняннями:

32.

x + y + z = ez;

33.

x2 + y2 + z2 = a2;

34.

z =2 px

;

35.

x3+ y + z = e

(x+y+z)

;

x22 y2

36.

cos

+ cos

+ p

;

37.

cos z = 1

xz + y = 0

Знайти dz i d2z функцiї z = z(x; y), яка визначається неявно такими рiвняннями:

38. xyz = x + y + z;	39.	x	= ln	z	+ 1;
		z
			y

40. z = x + arctgz x;

Функцiя z = f(x; y)

F (x; y; z) = 0, де F –

функцiя.

41. x2 + y2 + z2 = 1;

4 9

визначається неявно рiвнянням двiчi неперервно диференцiйовна

42.Знайти zxy00 , якщо F (x + y + z; x2 + y2 + z2) = 0.

43.Знайти zx0 i zy0 , якщо F (x y; y z; z x) = 0.

44.Знайти zx0 , zy0 i zxx00 , якщо F (x; x + y; x + y + z) = 0.

45.Знайти zxx00 , якщо F (xz; yz) = 0.

46.Знайти d2z, якщо F (x + z; y + z) = 0.

1+v

yeu v

120

47. Знайти d2z, якщо F (xz ; yz ) = 0.

Знайти похiднi першого i другого порядкiв неявних функцiй y = y(x) i z = z(x), що визначаються такими системами:

48.	x3	z2		+ 5y = 3:		49.	x3 + y3 z3 = 10:
	8x2		z3		4y4 = 0;			x + y + z = 0;
50.	x + y + z = 2:					51.	x + y + z = 0:
	x2	+ y2		= 1 x2;				x2 + y2 + z2 = 1;
	x2			2					+ 2y2 3z2 = 0:
52.		+ z2		+ 2y 4z = 0:		53.		4x2
	x2	+ y2		+ z	2 = 3;			5x2	+ y2	2z2 = 1;

Знайти всi частиннi похiднi першого та другого порядкiв неявних функцiї u = u(x; y) та v = v(x; y), що визначаються таки-

ми системами:
54.	xu yv = 0;	55.	u + v = x + y;
				sin u	x
	yu + xv = 1:				= y	:
				sin v
	xu + yv = 4;		xeu+v + 2uv = 1;
56.	yu v = 0:	57.					= 2x:

8.7. Екстремум функцiй багатьох змiнних.

Нехай X Rm, f : X ! R – деяка функцiя i x0 2 X. Точка x0 називається точкою локального максимуму (мiнiмуму)

функцiї f, якщо iснує такий окiл U цiєї точки в Rm, що для

всiх x 2 U \ X виконується нерiвнiсть
f(x) f(x0) (f(x) f(x0)):	(8:8)

Точка локального максимуму чи мiнiмуму називається точкою локального екстремуму.

Якщо у (8.8) виконуються строгi нерiвностi для кожного x 2 U \ X, вiдмiнного вiд x0, то точка x0 називається точкою строгого локального максимуму (мiнiмуму) функцiї f, чи, загальнiше, точкою строгого локального екстремуму.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.09.2019179.44 Кб19Makroekonomika_ekzamen_shpori.docx
#
20.08.2019618.25 Кб175Manual_revised_MI.rtf
#
03.11.20181.67 Mб24marketing new part 1.doc
#
29.09.2019150.2 Кб3Marketingovi_doslidzhennya_Vosstanovlen.docx
#
30.04.2019368.13 Кб3marketing_11-12_OEF_ep.doc
#
23.02.2016711.57 Кб32Matan.pdf
#
19.09.2019410.9 Кб5matematika.docx
#
21.12.201891.9 Кб5matematuka.docx
#
18.12.2018134.66 Кб6materiali_do_lektsiyi_Fenomen_svidomosti.doc
#
23.02.2016773.12 Кб63Materialna_tochka.doc
#
28.07.201936.24 Кб1maugham 7-9.docx