Matan

121

Теорема 8.15 (необхiдна умова екстремуму функцiї багатьох змiнних). Нехай точка x0 є точкою локального екстремуму функцiї f i в цiй точцi iснують усi частиннi похiднi

Вiдзначимо, що для диференцiйовної функцiї f рiвнiсть нулю всiх її частинних похiдних першого порядку в точцi x0 рiвносильна тому, що df(x0) = 0. Як i для випадку функцiй однiєї змiнної, точка x0 2 X, для якої df(x0) = 0, називається стацiонарною для f. З теореми 8.15 випливає, що стацiонарнi точки пiдозрiлi на екстремум.

Теорема 8.16 (достатня умова екстремуму функцiї двох змiнних). Нехай функцiя u = f(x; y) має неперервнi частиннi похiднi першого i другого порядкiв у деякому околi своєї стацiонарної точки p0 = (x0; y0),

1)якщо AC B2 > 0 i A > 0, то p0 – точка строгого локального мiнiмуму;

2)якщо AC B2 > 0 i A < 0, то p0 – точка строгого локального максимуму;

3)якщо AC B2 < 0, то p0 не є точкою локального екстремуму.

Для формулювання достатнiх умов iснування чи вiдсутностi екстремуму функцiї m змiнних у загальному випадку нагадаємо деякi вiдомостi з курсу вищої алгебри щодо квадратичних форм вiд m змiнних t1, ... , tm, тобто однорiдних многочленiв другого степеня вигляду

122

(вiд’ємно) визначеною, якщо вона набуває лише строго додатних (вiд’ємних) значень при будь-яких значеннях змiнних t1,

... , tm, для яких jt1j+:::+jtmj 6= 0. Якщо ж квадратична форма (8.9) набуває значень рiзних знакiв, то вона називається невизначеною.

Теорема 8.17 (критерiй Сiльвестра). Квадратична форма

гатьох змiнних). Нехай функцiя f : X ! R має неперервнi частиннi похiднi першого i другого порядкiв у деякому околi своєї стацiонарної точки x0 2 X, а

@2f

aij = @xi@xj (x0)

для всiх i; j = 1; :::; m. Тодi якщо вiдповiдна квадратична форма (8.9) додатно визначена, то x0 – точка строгого локального мiнiмуму, якщо вiд’ємно визначена, то x0 – точка строгого локального максимуму, а якщо невизначена, то x0 не є точкою локального екстремуму.

Дослiдити на екстремум наведенi нижче функцiї двох змiн-

29.u = 4x2 4xy + y2 + 4x 2y;

30.u = x2 + y2 + 2xy 2x 2y;

34.u = x2 + xy + y2 4 ln x 10 ln y;

35.u = x 2y + ln px2 + y2 + 3 arctg xy ;

36.u = x + y + 4 sin x sin y.

Дослiдити на екстремум наведенi нижче функцiї трьох змiнних:

37. u = x2 + y2 + z2 + 2x + 4y 6z;

125

Дослiдити на екстремум наведенi нижче функцiї z = z(x; y),

Дослiдити на екстремум наведенi нижче функцiї z = z(x; y), заданi неявно вiдповiдними рiвностями:

62.x2 + y2 + z2 + 2x 2y + 4z 3 = 0;

63.x2 + y2 + z2 2x + 2y 4z 10 = 0;

64.2x2 + 2y2 + z2 + 8yz z + 8 = 0;

65.x2 + y2 + z2 xz yz + 2x + 2y + 2z 2 = 0;

66.x3 y2 + z2 3x + 4y + z 8 = 0;

67.(x2 + y2)2 + z4 8(x2 + y2) 10z2 + 16 = 0;

68. (x2 + y2 + z2)2 = a2 (x2 + y2 z2) (a > 0).

Знайти найбiльше та найменше значення функцiї u на вiдпо-

88.Додатне число a подати у виглядi суми трьох додатних чисел так, щоб їх добуток був найбiльшим.

89.Додатне число a подати у виглядi суми чотирьох додатних чисел так, щоб сума їх квадратiв була найменшою.

90.Додатне число a подати у виглядi добутку трьох додатних чисел так, щоб сума їхнiх обернених величин була найменшою.

91.Додатне число a подати у виглядi добутку чотирьох додатних чисел так, щоб їх сума була найменшою.

92.На координатнiй площинi знайти точку, сума квадратiв вiдстаней вiд якої до прямих x = 0, y = 0 та x + 2y = 16 була б найменшою.

93.У задану кулю дiаметром 2R вписати прямокутний паралелепiпед найбiльшого об’єму.

94.Задано три точки A(0; 0; 12), B(0; 0; 4) та C(8; 0; 8). На площинi z = 0 знайти таку точку D, щоб сфера, яка проходить через точки A, B, C i D, мала найменший радiус.

127

8.8. Умовний екстремум функцiй багатьох змiнних.

Нехай m i n – фiксованi натуральнi числа, 1, 2, ... , n – функцiї m + n дiйсних змiнних x1; ::: ; xm+n, а X – це множина всiх таких точок x = (x1; ::: ; xm+n) 2 Rm+n, що для кожного i = 1; : : : ; n виконується рiвнiсть

Нехай, окрiм того, D – деяка пiдмножина простору Rm+n i f : D ! R. Кажуть, що функцiя f має в точцi x0 2 X \ D умовний максимум (мiнiмум), якщо iснує такий окiл U точки x0 в Rm+n, що для всiх x 2 X \ D \ U виконується нерiвнiсть

Точка умовного максимуму чи мiнiмуму називається точкою умовного екстремуму.

Якщо у (8.11) виконуються строгi нерiвностi для кожного x 2 X \ D \ U, вiдмiнного вiд x0, то точка x0 називається

точкою строгого умовного максимуму (мiнiмуму) функцiї f, чи, загальнiше, точкою строгого умовного екстремуму.

Iншими словами, точка умовного екстремуму функцiї f – це точка локального екстремуму звуження функцiї f на множину

X \ D.

При дослiдженнi на умовний екстремум зручно використовувати метод невизначених множникiв Лаґранжа. Цей метод базується на використаннi допомiжної функцiї Лаґранжа L : Rm+2n ! R, яка означається формулою

n

X

L(x1; : : : ; xm+n; 1; : : : ; n) = f(x) + i i(x);

i=1

де x = (x1; : : : ; xm+n).

Теорема 8.19 (необхiдна умова умовного екстремуму).

Нехай функцiї

f(x1; : : : ; xm+n); 1(x1; : : : ; xm+n); : : : ; n(x1; : : : ; xm+n)

128

задовольняють такi умови:

1) в деякому околi точки x0 функцiї f; 1; : : : ; n мають не-

деякого набору чисел (0)1 ; : : : ; (0)n 2 R, називатимемо точкою, пiдозрiлою на умовний екстремум.

Для довiльних i = 1; : : : ; n, j = 1; : : : ; m + n та x0 2 Rm+n

що для довiльних t1; : : : ; tm 2 R система

8

< a1;1t1 + : : : + a1;mtm + a1;m+1y1 + : : : + a1;m+nyn = 0;

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8:14)

:an;1t1 + : : : + an;mtm + an;m+1y1 + : : : + an;m+nyn = 0;

129

вiдносно змiнних y1; : : : ; yn має єдиний розв’язок вигляду

Нехай функцiя f(x1; : : : ; xm+n) має всi частиннi похiднi другого порядку в точцi x0. Для довiльних i; j = 1; : : : ; m + n покладемо

де g визначається згiдно з (8.16) i (8.17), а змiннi y1; : : : ; yn виражаються через змiннi t1; : : : ; tm згiдно з (8.15), визначає деяку квадратичну форму вiд m змiнних t1; : : : ; tm.

Теорема 8.20 (достатнi умови умовного екстремуму). Нехай функцiї

f(x1; : : : ; xm+n); 1(x1; : : : ; xm+n); : : : ; n(x1; : : : ; xm+n)

i точка

x0 = (x(0)1 ; : : : ; x(0)m+n) 2 Rm+n

задовольняють такi умови:

1) в деякому околi точки x0 функцiї f; 1; : : : ; n мають неперервнi всi частиннi похiднi другого порядку;

D( 1; : : : ; n)

2) якобiан D(xm+1; : : : ; xm+n)(x0) =6 0;

3) точка x0 є точкою, пiдозрiлою на умовний екстремум функцiї f.

130

Тодi, якщо квадратична форма (8.18) додатно визначена, то x0 – точка строгого умовного мiнiмуму, якщо вона вiд’ємно визначена, то x0 – точка строгого умовного максимуму, а якщо невизначена, то x0 не є точкою локального екстремуму.

Дослiдити на умовний екстремум наведенi нижче функцiї: 1. u = xy, якщо: а) x + y = 1, б) x2 + y2 = 18;

2.u = x2 + y3, якщо x2 + y2 = 1;

3.u = x4 + y4, якщо x + y = 2;

6.u = x2 + y2, якщо 3x + 2y = 6;

7.u = 5 3x 4y, якщо x2 + y2 = 25;

8.u = 1 4x 8y, якщо x2 8y2 = 8;

9.u = x2 + xy + y2, якщо x2 + y2 = 1;

10.u = 2x2 + 12xy + y2, якщо x2 + 4y2 = 25;

11.u = x2 y2, якщо 2x y 3 = 0;

12.u = cos2 x + cos2 y, якщо y x = 4 ;

13.u = (x 1)2 + (y + 1)2, якщо x2 + y2 2xy = 0;

14.u = x + y + z, якщо x1 + y1 + z1 = 1;

15.u = 2x2 + 3y2 + 4z2, якщо x + y + z = 13;