Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matan

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

711.57 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

19.

( 1)n ;

20.

cos 4n

;

np2

np3

n=1

n + 1

21.

( 1)n

;

22.

sin 4n

;

n2 + sin 4n

(

n=1

1)n)3

n=1

sin n

cos n

23.

;

24.

;

n=1

n+1

25.

n=1

np+ n

;

26.

n=1

27.

(

1)n+1 2

sin

;

28.

(

;

1)n 3ptg

n=1

n + 1

29.

+ : : : ;

30.

+ : : : ;

11p

31.

+ : : : ;

11p

32.

+ : : : .

7.5. Нескiнченнi добутки.

Нехай (pn)1n=1 – деяка числова послiдовнiсть. Вираз

Y p1 p2 : : : pn : : : = pn

n=1

називається нескiнченним добутком.

Для кожного n 2 N добуток Pn = p1 p2 : : : pn називається n-м частинним добутком.

Якщо iснує скiнченна границя P 6= 0 послiдовностi (Pn)1n=1,

то добуток pn називається збiжним. Якщо ж такої границi

n=1

не iснує або вона нескiнченна чи дорiвнює нулю, то добуток називається розбiжним. Число P називається значенням добут-

	1
ку. Для збiжного добутку		pn його значення P позначається
	n=1		n
1	1		n
1	Q
також через	pn, тобто	pn = lim pk.
n=1	n=1	n	=1
Q	Q		!1 kQ

Теорема 7.20 (необхiдна умова збiжностi добутку). Якщо

	1
добуток	pn збiжний, то		lim pn = 1.
	=1		n
	nQ			!1	1
Теорема 7.21. Нескiнченний добуток					pn, де pn > 0, збiж-
					=1	1
					nQ	1
ний тодi i тiльки тодi, коли збiгається ряд						ln pn.
		1				=1
		1				nP
Нескiнченний добуток			pn називається абсолютно (умов-
		=1
		1nQ
но) збiжним, якщо ряд		ln pn абсолютно (умовно) збiжний.
		=1
		nP

Теорема 7.22. Нехай pn 6= 0 i n = pn 1 для кожного n 2 N.

	1	1
Тодi нескiнченний добуток	nQ	1
Тодi нескiнченний добуток	pn	абсолютно збiжний тодi i
	=1	nP
		nP
тiльки тодi, коли збiгається ряд		=1 j nj.

Теорема 7.23. Нехай pn > 0, n = pn 1 для кожного n 2 N i

ряд n збiжний. Тодi нескiнченний добуток

pn збiжний

n=1

тодi i тiльки тодi, коли збiгається ряд

При x 2 R мають мiсце такi рiвностi:

sin x = x n=1

;

cos x = n=1

n2 2

(2n

1)2

Зокрема, з першої з цих рiвностей при x = 2 отримуємо вiдому

формулу Валлiса

2 =

2n + 1:

n=1

Довести рiвностi:

;

1. n=2

1 n2

2. n=2

1 n(n + 1)

n3 1

;

n4 + n3 + n2

= 1;

n3 + 1 3

n=2

1 + 2

= 2;

n=1

1 + 3

= 2;

n=0

n=1

;

jxj < 1;

n=1

cos

2n+1

n=0

1 + x2

cos xn = sin x;

10.

ch xn = sh x;

n=1

11.

: : : ;

= p

2 + p

2 +

12.

1 3n + 1 =

p .

n=1

Довести збiжнiсть наведених нижче добуткiв та знайти їхнi значення:

13.	1	1
	n=1	1 + n(n + 2) ;
	Y
	1		(2n + 1)(2n + 7)
15.				;

			(2n + 3)(2n + 5)

n=1

Yn2 4

14.n2 1;1

n=3

Y ( 1)n

16. a n , a > 0.

n=1

Дослiдити на збiжнiсть такi добутки:

Y2n3 + 1

17.n3 + 5 ;1

n=1

19. Y n1 ;

n=1

Y(n + 1)2

21.n2 + 2n + 2;1

	n=1
23.	1	1
23.	n=1	1 n ;
	Y
25.	1				n + 1	;
25.	n=1 rn + 2					;
	Y
	1				n
27.	Y		p				;

	n=1			n2 + 1
	n=1

29.Y n 1 + n1 ;

	n=1
31.	1	5	5
31.	n=1	1 + n	e n ;
	Y

1	1 + n7
Y
Y	4n7		5;
18.	4n7	+ n	5;

n=2

20.Y p 3 n ;

	n=1		n + 1					1;
22.	1	n3			+ 3n2 +3			1;
	Y
	n=1				(n + 1)
	n=1	1 pn1+ 1							;
24.	1
24.	n=1
	Y
	1				n3 + n2
26.	Y r3						;
26.	Y r3				n3 + 2		;
	n1=1 p3
	n1=1 p3				3
28.	Y			n + 1		;
28.	Y			n		;

n=1

30.Y n2 n;

	n=1
32.	1	3	3
32.	n=1	1 pn	epn .
	Y

З’ясувати, при яких значеннях параметра x збiгаються такi добутки:

33.	1			1	;		34.	1			1	;
33.	n=1	1 + nx			;		34.	n=2	1 nx			;
	Y							Y
35.	1	2		+ 1		x	36.	1	n		1		x2	;
35.	n=1	n2		+ 1		;	36.	n=1	n		1			;
	Y		n	1				Y		n +	1
	Y							Y

37.	1	x	x	38.	1	x	x
37.	n=1 1 + n		e n ;	38.	n=1 1	1 + n	en ;
	Y				Y
39.	1			40.	1	xn
39.	n=1(1 xn);			40.	n=1 1 +	2n
	Y				Y

Дослiдити на абсолютну та умовну збiжностi такi добутки:

41.	1	1		1)n	;
41.	n=1	1	+ (n + 1		;
	Y				;
43.	1	1		( 1)n
43.	n=1			n2
	Y				;
45.	1	1	+	( 1)n
45.	n=2			ln n
	Y

47.Y n n( 1)n ;

	n=1			( 1)n	;
49.	1	1		( 1)n
49.	n=1			np
	Y
	1		p
	1		p	n
51.	Y					;


	n=2 pn + ( 1)n
							1	1
53. Нехай добутки							Q pn i	Q

42.

(

1)n

;

n=1

;

44.

1 +

( 1)n

n=1

pn3 + 1

1 +

( 1)n

46.

;

n=1

ln2(n + 1)

n(n

48.

1 + ( 1)n

n=1

50.

1 +

( 1)n

;

n=2

(n ln n)p

52.

n + 1

(

1)n

n=1

n + 1

qn збiжнi. Довести, що добутки

1	1	n=1	n=1
		1	1

Q	p2	,	Q	nQ	pn збiжнi. Чи збiжний добуток	Q
	p2	,	pnqn i		pn збiжнi. Чи збiжний добуток	(pn + qn)?
n=1	n		n=1	=1 qn		n=1

Роздiл VIII. Функцiї багатьох змiнних

8.1. Збiжнi послiдовностi й топологiчнi поняття

вметричному просторi Rm.

Нехай m 2 N i

Rm = f(x1; : : : ; xm) : xi 2 R; 1 i mg:

Функцiя d : Rm Rm ! R, яка дiє за правилом

d(x; y) = (x1 y1)2 + : : : + (xm ym)2;

де x = (x1; : : : ; xm) 2 Rm, y = (y1; : : : ; ym) 2 Rm, називається

евклiдовою вiдстанню в Rm.

Елемент (0; 0; : : : ; 0) 2 Rm називається нульовим елементом i позначається через 0.

Множина A Rm називається обмеженою, якщо iснує таке

C0, що для всiх x 2 A виконується нерiвнiсть d(x; 0) C. Елемент x0 2 Rm називається границею послiдовностi

(xn)1n=1, де xn 2 Rm для всiх n 2 N (позначається x0 = lim xn

n!1

або xn ! x0 при n ! 1), якщо для кожного " > 0 iснує такий номер N 2 N, що для довiльного n N виконується нерiвнiсть d(xn; x0) < ".

Послiдовнiсть (xn)1n=1 елементiв xn 2 Rm називається збiж-

ною в просторi Rm, якщо iснує таке x0 2 Rm, що lim xn = x0.

n!1

Нехай a = (a1; : : : ; am) 2 Rm i " > 0. Множина

B(a; r) = fx 2 Rm : d(x; a) < "g

називається вiдкритою кулею з центром у точцi a i радiусом ", а множина

B[a; r] = fx 2 Rm : d(x; a) "g

називається замкненою кулею з центром у точцi a i радiусом ".

Множина U Rm називається околом точки x0 2 Rm, якщо

iснує таке " > 0, що B(x0; ") U.

Точка x 2 A Rm називається внутрiшньою точкою множини A, якщо iснує таке " > 0, що B(x; ") A.

									87
	Множина U Rm називається вiдкритою, якщо кожна точка
цiєї множини є внутрiшньою.
A	Точкаm x	2 Rm	називається				точкою дотику		множини
A		x; "		) \	A	6= для довiльного		" >
	R , якщо B(m			) \		6= для довiльного			0.
	Множина F R		називається замкненою, якщо вона мiстить

всi свої точки дотику.

Замкнена i обмежена множина K Rm називається компактною.

1. Функцiї d1; d1 : Rm Rm ! R означаються так: d1(x; y) = jx1 y1j + jx2 y2j + : : : + jxm ymj;

d1(x; y) = maxfjx1 y1j; jx2 y2j; : : : ; jxm ymjg;

де x = (x1; : : : ; xm) 2 Rm, y = (y1; : : : ; ym) 2 Rm. Довести, що

d1(x; y) d(x; y) d1(x; y) m d1(x; y)

для довiльних x; y 2 Rm.

2.Довести, що множина A Rm обмежена тодi i тiльки тодi, коли iснує таке C 0, що d(x; y) C для довiльних x; y 2 A.

3.Довести, що множина A Rm обмежена тодi i тiльки тодi, коли множина A покоординатно обмежена, тобто для

кожного i = 1; : : : ; n множина Ai i-х координат усiх елементiв a 2 A обмежена в R.

4.Нехай x0 2 Rm i xn 2 Rm для всiх n 2 N. Довести, що

x0	= lim xn тодi i тiльки тодi, коли	lim d(x0; xn) = 0.
	n!1	n!1

5.Довести, що кожна збiжна послiдовнiсть у просторi Rm обмежена.


6. Довести,	що	послiдовнiсть		(xn)n1=1 точок xn			=
(x1;n; x2;n; : : : ; xm;n) збiжна в				просторi Rm тодi i			тiль-
ки тодi,	коли	вона покоординатно				збiжна, тобто	для
кожного	i = 1; ::: ; m		послiдовнiсть		(x	)1
кожного			послiдовнiсть			i;n n=1 збiжна в R.

7. Нехай lim xn = x0

lim yn = y0 в просторi Rm. Довести,

n!1

що lim d(xn; yn) = d(x0; y0).

n!1

8. Перевiрити, чи

послiдовнiсть

збiжною в R

n=1

якщо:

a) xn =

;

; : : : ;

;

n n

; : : : ; n + m ;

б) xn = n + 1; n + 2

в) xn = (

2; : : : ; pm);

n + 1

n + 2

n + m

г) xn =

; : : : ;

;

ґ) xn = (n; n ; : : : ; n );

д) xn =	1	; n2; : : : ; n( 1)mm .
	n

9.Довести, що вiдкрита куля в просторi Rm є вiдкритою множиною.

10.Довести, що замкнена куля в просторi Rm є замкненою множиною.

11.Довести, що множина F Rm замкнена тодi i тiльки тодi, коли її доповнення G = Rm n F є вiдкритою множиною.

12.Довести, що об’єднання скiнченної кiлькостi вiдкритих множин є вiдкритою множиною.

13.Довести, що об’єднання скiнченної кiлькостi замкнених множин є замкненою множиною.

14.Довести, що перетин скiнченної кiлькостi вiдкритих множин є вiдкритою множиною.

15.Довести, що перетин скiнченної кiлькостi замкнених множин є замкненою множиною.

16.Довести, що об’єднання злiченної кiлькостi вiдкритих множин є вiдкритою множиною.

17.Довести, що перетин злiченної кiлькостi замкнених множин є замкненою множиною.

18.Чи обов’язково перетин злiченної кiлькостi вiдкритих множин є вiдкритою множиною?

19.Чи обов’язково об’єднання злiченної кiлькостi замкнених множин є замкненою множиною?

20.Чи є множина рацiональних чисел замкненою або вiдкритою у просторi R?

21.Чи є множина iррацiональних чисел замкненою або вiдкритою у просторi R?

22.Чи є множина точок площини, хоча б одна координата яких рацiональна, замкненою або вiдкритою в R2?

23.Чи є множина точок площини, хоча б одна координата яких iррацiональна, замкненою або вiдкритою в R2?

24.Довести, що множина G вiдкрита в R, якщо:

а) G = (0; 1);	б) G = (a; b);
в) G = (2; 3) [ (4; 5);	г) G = ( 1; 0).

25. Довести, що множина G вiдкрита в R2, якщо: а) G = f(x; y) 2 R2 : x2 + y2 < 4g;

б) G = f(x; y) 2 R2 : x2 + y2 < 1 i x < 0g; в) G = f(x; y) 2 R2 : x2 + y2 > 9g;

г) G = f(x; y) 2 R2 : 1 < x2 + y2 < 16g; ґ) G = f(x; y) 2 R2 : x + y < g;

д) G = f(x; y) 2 R2 : jxj + jyj > 10g; е) G = (0; 1) (0; 1);

є) G = (0; +1) ( 1; 0).

26. Довести, що множина G вiдкрита в R3, якщо:

а) G = f(x; y; z) 2 R3 : x2 + y2 + z2 < 1g;

б) G = f(x; y; z) 2 R3 : 4 < x2 + y2 + z2 < 9g; в) G = f(x; y; z) 2 R3 : z < x2 + y2g;

г) G = (0; 1) (2; 3) (0; +1).

27. Довести, що множина F замкнена в R, якщо:

а) F = [0; 1];	б) F = [a; b];
в) F = [2; 3] [ [5; 7];	г) F = [0; +1).

28. Довести, що множина F замкнена в R2, якщо: а) F = f(x; y) 2 R2 : x2 + y2 1g;

б) F = f(x; y) 2 R2 : x2 + y2 4 або x = 6g; в) F = f(x; y) 2 R2 : x2 + y2 = 9g;

г) F = f(x; y) 2 R2 : 2x + 3y 0g; ґ) F = f(x; y) 2 R2 : sin x = cos yg;

д) F = f(x; y) 2 R2 : y x2 + 3jxj 2g; е) F = [0; 1] [0; 1].

29. Довести, що множина F замкнена в R3, якщо: а) F = f(x; y; z) 2 R3 : x2 + y2 + z2 4g;

б) F = f(x; y; z) 2 R3 : 1 x2 + y2 + z2 9g; в) F = f(x; y; z) 2 R3 : z2 x2 y2 0g;

г) F = [0; 1] [2; 3] [ 5; +1).

30.З’ясувати, чи є множина A вiдкритою або замкненою в R, якщо:

а) A = (0; 1];

б) A = [a; b);

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.09.2019179.44 Кб19Makroekonomika_ekzamen_shpori.docx
#
20.08.2019618.25 Кб175Manual_revised_MI.rtf
#
03.11.20181.67 Mб24marketing new part 1.doc
#
29.09.2019150.2 Кб3Marketingovi_doslidzhennya_Vosstanovlen.docx
#
30.04.2019368.13 Кб3marketing_11-12_OEF_ep.doc
#
23.02.2016711.57 Кб32Matan.pdf
#
19.09.2019410.9 Кб5matematika.docx
#
21.12.201891.9 Кб5matematuka.docx
#
18.12.2018134.66 Кб6materiali_do_lektsiyi_Fenomen_svidomosti.doc
#
23.02.2016773.12 Кб63Materialna_tochka.doc
#
28.07.201936.24 Кб1maugham 7-9.docx