Matan

Використовуючи пiдстановки Ейлера, знайти такi iнтеграли:

Знайти невизначенi iнтеграли вiд таких бiномiальних дифе-

p

22

4.6. Iнтегрування тригонометричних функцiй.

Нехай R(u; v) – довiльна рацiональна функцiя двох змiнних.

Унiверсальна тригонометрична пiдстановка. Iнтеграл

Z

з допомогою замiни t = tg x2 , яка називається унiверсальною тригонометричною пiдстановкою, зводиться до iнтеграла вiд деякої рацiональної функцiї. При цьому

Спецiальнi випадки iнтегрування тригонометричних виразiв. Для знаходження iнтеграла виду (5.1) при виконаннi деяких додаткових умов на рацiональну функцiю R зручнiше використовувати такi пiдстановки:

1)t = sin x, якщо R( u; v) = R(u; v);

2)t = cos x, якщо R(u; v) = R(u; v);

3)t = tg x, якщо R( u; v) = R(u; v).

Знайти iнтеграли вiд тригонометричних функцiй:

25

Роздiл V. Визначений iнтеграл та його застосування

5.1. Означення та властивостi визначеного iнтеграла.

Нехай на вiдрiзку [a; b] визначена деяка функцiя f. Впорядкована множина P = fx0; x1; :::; xng точок вiдрiзка [a; b] називається розбиттям цього вiдрiзка на n частин, якщо

a = x0 < x1 < ::: < xk 1 < xk < ::: < xn 1 < xn = b:

Позначимо xk = xk xk 1 для k = 1; 2; :::; n. Число

(P ) = max xk

1 k n

називається параметром розбиття P .

Для довiльного розбиття P вiдрiзка [a; b] на n частин та до-

вiльного набору = ( k)nk=1 вiдмiчених точок k 2 [xk 1; xk]

вiдрiзка [a; b] вiдповiдною iнтегральною сумою функцiї f нази-

вається така сума:

n

X

P; (f) = f( k) xk:

k=1

Якщо iснує скiнченна границя lim P; (f) = I, яка не за-

(P )!0

лежить нi вiд розбиття P вiдрiзка [a; b], нi вiд вибору наборувiдмiчених точок, то функцiя f називається iнтегровною на вiдрiзку [a; b], а число I – визначеним iнтегралом вiд f по [a; b]

Теорема 5.1 (необхiдна умова iнтегровностi функцiї).

Якщо функцiя f iнтегровна на вiдрiзку [a; b], то вона обмежена на цьому вiдрiзковi.

Нехай функцiя f обмежена на вiдрiзку [a; b], P – фiксоване розбиття вiдрiзка [a; b] на n частин i для k = 1; 2; :::; n

26

!k(P; f) = Mk(P; f) mk(P; f):

Число !k(P; f) називається коливанням функцiї f на вiдрiзку

[xk 1; xk], а суми

вiдповiдно нижньою та верхньою сумами Дарбу функцiї f для розбиття P .

Теорема 5.2 (критерiй iнтегровностi функцiї). Обмежена на вiдрiзку [a; b] функцiя f iнтегровна на цьому вiдрiзку тодi

й лише тодi, коли

n

X

lim !k(P; f) xk = 0:

(P )!0

k=1

Теорема 5.3. Кожна неперервна на вiдрiзку функцiя iнтегровна на цьому вiдрiзку.

Теорема 5.4. Кожна монотонна на вiдрiзку функцiя iнтегровна на цьому вiдрiзку.

Теорема 5.5. Якщо обмежена на вiдрiзку функцiя має на ньому лише скiнченну кiлькiсть точок розриву, то вона iнтегровна на цьому вiдрiзку.

Аналогiчно, як у випадку a < b, вводиться поняття визначе-

b

R

ного iнтеграла f(x) dx при a > b. А саме, в цьому випадку

27

Зрозумiло, що функцiя f iнтегровна на [a; b] тодi й лише тодi, коли вона iнтегровна на [b; a], причому

ba

ZZ

f(x) dx = f(x) dx:

ab

Крiм цього, вважають, що

a

Z

f(x) dx = 0

a

для довiльної функцiї f i кожного a 2 R.

1. Знайти iнтегральну суму n для функцiї f(x) = 1 + x на вiдрiзку [ 1; 4], розбиваючи його на n рiвних вiдрiзкiв i вибираючи за вiдмiченi точки k середини вiдповiдних вiдрiзкiв.

2.Знайти iнтегральну суму n для функцiї f(x) = 2x на вiдрiзку [0; 2], розбиваючи його на n рiвних вiдрiзкiв i вибираючи за вiдмiченi точки k середини вiдповiдних вiдрiзкiв.

3.Для вказаних нижче функцiй f знайти нижню sn(f) та верхню Sn(f) суми Дарбу на вiдповiдних вiдрiзках, розбиваючи цi вiдрiзки на n рiвних частин:

Обчислити визначенi iнтеграли, розглядаючи їх як границi вiдповiдних iнтегральних сум:

28

де m 2 Z i n 2 N – взаємно простi, iнтегровна на довiльному вiдрiзку [a; b].

16.Нехай функцiя f iнтегровна на вiдрiзку [a; b] i для кожного n 2 N

Довести, що

bb

ZZ

lim fn(x) dx = f(x) dx:

n!1

aa

17.Довести, що коли функцiя f iнтегровна на вiдрiзку [a; b], то iснує така послiдовнiсть ('n)1n=1 неперервних на [a; b]