Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matan

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

711.57 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Роздiл VI. Невласнi iнтеграли

6.1. Означення та обчислення невласних iнтегралiв.

Нехай a 2 R, функцiя f визначена на промiжку [a; !), де ! 2 (a; +1] – особлива точка для f (тобто ! = +1 або ! 2 R i f необмежена в кожному околi точки !), i для кожного A 2 (a; !) функцiя f iнтегровна на вiдрiзку [a; A].

			A	f(x) dx, то функцiя f на-
	Якщо iснує скiнченна границя lim			f(x) dx, то функцiя f на-
			A!! a
зивається iнтегровною (у невласномуR розумiннi) на промiжку
	a; !		A
	a; !		lim f(x) dx
[		), а значення границi	A!! Ra		називається невласним

iнтегралом вiд функцiї f на промiжку [a; !) i позначається че-

!	!	A
	Z	Z
	f(x) dx = lim	f(x) dx:
	A!!
	a	a
	!
рез Ra	f(x) dx, тобто

При цьому невласний iнтеграл f(x) dx називається збiжним.

У випадку, коли границя lim f(x) dx нескiнченна або не

A!! a

iснує, то функцiя f не є iнтегровною на [a; !) i невласний iн-

теграл f(x) dx називається розбiжним. При цьому, у випадку

нескiнченної границi, вважають, що значення невласного iнтеграла дорiвнює вiдповiднiй нескiнченностi (+1 чи 1), а в iншому випадку невласний iнтеграл значення не має.

Аналогiчно визначається невласний iнтеграл виду

f(x) dx = lim f(x) dx;

A!! ! A

де ! 2 [ 1; a) – особлива точка для визначеної на промiжку (!; a] функцiї f. Крiм цього, якщо f визначена на промiжку

(!1; !2), де !1; !2 2 [ 1; +1] – особливi точки для f, то вважають, що

!2	a	!2
!Z1	f(x) dx = !Z1	f(x) dx + Za	f(x) dx;

де a 2 (!1; !2), причому iнтеграл з лiвої частини останньої рiвностi збiгається, якщо збiгаються обидва iнтеграли з правої частини цiєї рiвностi.

Якщо ! 2 f 1; +1g, то вiдповiдний невласний iнтеграл називають невласним iнтегралом першого роду, а якщо ! 2 R, то невласним iнтегралом другого роду.

Теорема 6.1 (критерiй Кошi). Нехай функцiя f визначена

на промiжку [a; !) i для кожного A 2 (a; !) iнтегровна на вiд-

рiзку [a; A]. Тодi невласний iнтеграл f(x) dx збiгається в то-

му й лише в тому випадку, коли для довiльного " > 0 iснує таке A0 2 [a; !), що для всiх A0; A00 2 [A0; !) виконується не-

рiвнiсть

A00

f(x) dx < ":

Теорема 6.2. Нехай функцiя f неперервна на промiжку [a; !), а F – одна з її первiсних на цьому промiжку. Тодi

!						= x!!
Za	f	(	x	)	dx	= x!!	F (a):
	f		x		dx	lim F (x)	F (a):
lim F (x)			F (a)					F (x)	!
lim F (x)			F (a)			позначається ще через		F (x)	a .
Рiзниця x!!						позначається ще через			a .

Аналогiчно, як для визначених iнтегралiв, для невласних iнтегралiв вважають, що

f(x) dx = f(x) dx:

1. Довести, що невласний iнтеграл

dx xp ;

де a > 0, збiгається при p > 1 i розбiгається при p 1.

2. Довести, що невласний iнтеграл

(x a)p

збiгається при p < 1 i розбiгається при p 1.

Обчислити такi невласнi iнтеграли:

x4 ;

1 + x2 ;

px;

x2 + 2x + 2;

ejxj ;

6. Z

e2x ;

10.

11.

p1 x2 ;

x2 + 2x 3;

2x x2 ;

12.

px 2

;

13.

;

14.

px 1

;

xpx 1

x dx

15.

xpln x;

16.

x ln x;

17.

x ln2 x;

18.

x2 (x + 1);

19.

x (x + 1)2 ;

20.

;

x px2

21.

x px2

+ 1

;

22.

(1x+ x)3 ;

23.

(2 x) p1

+1 x dx

+1x2 + 1

24.

;

25.

;

26.

dx;

x3 + 1

x3 1

x4 + 1

27.

x2 + 2p1

;

28.

a)(b x)

(a < b);

29.

30.

a b

(a < b);

(2 x) p1

x2 ;

a)(b x)

31.

ln x dx;

32.

ln2 x dx;

33.

x e x dx;

	0					0
	+1					+1
34.	Z0	x3 e x2 dx;			35.	Z0	e p			dx;
									x
37.	+1		x2	dx;	38.	+1		(1 + x2)2 ;
	Z					Z
			arctg x					dx
	1					1
40.	+1		(1 + x2)2 ;		41.	+1		(1 + x2)2 ;
	Z1					Z0
			x ln x dx					x ln x dx

	0
	+1	p
			x
36.	Z			dx;
		(1 + x)2
	1

39.e x sin x dx;

	0
42.	+1	(1 + x2)	23 dx;
42.	Z0	(1 + x2)	23 dx;
		arctg x

																	55
43.	0	1		;	44.	1	1		;		45.	+1		2		1		;
43.	Z	x3		;	44.	Z	x3		;		45.	Z	x3 px2			1		;
		ex	dx				ex	dx					x		2		dx
			dx			0		dx				1					dx
	1					0						1
	+1									+1
46.	Z	e ax cos bx dx			(a > 0);			47.		Z	e ax sin bx dx				(a > 0);

	0
	1			+ x x3
	Z1		1	+ x x3
48.		ln			p		dx;
			1	x
			1	x		1 x2

0 +1

49.	Z		(x	1)4		;
		arctg (x		1)	dx
	0	p			dx
	0	p

50.

ln sin x dx;

51.

ln cos x dx;

52.

x ln sin x dx;

53.

x ctg x dx;

54.

dx;

55.

x2 dx;

arcsin x

ln x

56.

cos )px2

(0 < < 2 ).

2 dx

57.

Довести, що Z

= Z

1 + x4

Використовуючи рекурентнi формули, обчислити наведенi нижче iнтеграли:

	+1			+1
58.	Z0	xn e x dx (n 2 N);	59.	Z0	x2n+1 e x2 dx (n 2 N);

	1
60.	Z0	(ln x)n dx					(n 2 N);
	1
62.	Z			xn dx			(n 2 N);
			p
			p		1	x2
	0
64.	+1			chn+1x			(n 2 N);
64.	Z0			chn+1x			(n 2 N);
					dx

61.	+1	(a2 + x2)n (a > 0, n 2 N);
61.	Z	(a2 + x2)n (a > 0, n 2 N);
		dx

Z(1 x)n

63.p dx (n 2 N); x

	0
65.	+1	x(x + 1):::(x + n) (n 2 N).
65.	Z1	x(x + 1):::(x + n) (n 2 N).
		dx

66. Нехай функцiя f неперервна на промiжку							[a; +1) i
lim f(x) = A = 0						+1f(x) dx збiгатися?
x!+1		6 . Чи може iнтеграл				Ra	+1
67. Чи обов’язково			lim f(x) = 0, якщо iнтеграл				f(x) dx
			x!+1				a
збiгається? Розглянути приклади:							R
	+1			+1
а)	Z0	sin(x2) dx;	б)	Z0	( 1)[x2] dx.

6.2. Збiжнiсть невласних iнтегралiв вiд невiд’ємних функцiй.

Нехай ! 2 [ 1; +1] – особлива точка для функцiй f та g. Позначимо через F та G вiдповiдно невласнi iнтеграли

!		!
Z	та	Z
f(x) dx	та	g(x) dx:
a		a
Теорема 6.3 (перша	ознака порiвняння). Нехай

0f(x) g(x) на промiжку [a; !). Тодi:

1)якщо iнтеграл G збiгається, то iнтеграл F також збiгається;

2)якщо iнтеграл F розбiгається, то iнтеграл G також розбiгається.

Теорема 6.4 (друга ознака порiвняння). Нехай f(x) > 0 i g(x) > 0 на [a; !), причому f(x) g(x) при x ! !. Тодi iнтеграли F i G збiгаються чи розбiгаються одночасно.

Використовуючи ознаки порiвняння, дослiдити на збiжнiсть такi невласнi iнтеграли:

x3 + 1;

+ 1

;

x dx

x3 dx

+1 x2 dx

;

1 + 2x3 + 3x5

2 + 3x5

+1x3 + 1

+12x2

5x + 1

dx;

xp3 x2 + 1;

xp5 x3

+ 4;

px3 + 1 + p4x3

+ 3

;

10.

p3 x4 + 1 + p3

+ 2

;

(2x + 1) dx

(4x 3) dx

2 x dx

e x dx

11.

;

12.

;

x2 + 5x3 + 4x6

x4 + x + 3

13.

e x dx;

14.

e x dx;

15.

x2 + 1

;

16.

+ 2 ;

ln x dx

17.	+1			x + 2		dx;
17.	Z0			x + 2		dx;
			ln(x + 1)
	1
19.	1	epx 1			;
19.	Z	epx 1			;
				dx
	0

x dx

21.3sin x 1;1

23.

ex cos x;

ln(1 + p

)

25.

dx;

arcsin x

27.

;

1 cos p

29.

;

31.

;

ln x

33.

dx;

1 x2

Zarctg 2x

35.p dx; x3 + 3 x4

18.	+1		px2 + 4 dx;
18.	Z0		px2 + 4 dx;
			ln(x + 2)
20.	Z0					;
20.	Z0	ex		x 1		;
	1	p3 dx
	1
22.	Z0	2tg x 1					dx	;

				p3 x
				p3 x
24.	1	ex cos px;
24.	Z0	ex cos px;
					dx

Zln(1 + 2x)

26.p dx; sin 4 x

28.

;

arctg x

30.

x2 dx

;

3 (1

x2)5

32.

+1p

x ln ln x;

34.

p3 ln x;

36.

+ x;

px3

+ x2)

ln(1

sin x)

37.

ln(1

dx;

38.

dx;

sin2 p3

39.

;

40.

;

4 (1 + x2)3

(1 + x2)4

41.

+1p

42.

+1p5

x3 x2

4 dx;

128 x7 dx.

x + 3

+ x + 2

Встановити, при яких значеннях параметрiв збiгаються наведенi нижче невласнi iнтеграли:

43.xp 1 e x dx;


45.	2		1 xp				dx;
45.	Z0		1 xp				dx;
					cos x
47.	+1			xp ln x;
47.	Z2			xp ln x;
					dx
49.	1	xp x sin x dx;
49.	Z0	xp x sin x dx;
					x + sin x
51.	+1				xp		dx	(a > 0);
51.	Z0				xp		dx	(a > 0);
				arctg ax
	+1			xq
53.	Z0					dx		(p 0);
53.	Z0			1 + xp		dx		(p 0);

	+1
	Z0			+ x)
44.			ln(1				dx;
44.				xp			dx;

	Z		dx
46.					;
46.		sinp x			;
	0
48.	+1		x lnp x;
48.	Z2		x lnp x;
			dx
50.	+1
50.	Z1	xp x sin x dx;
				x + sin x
52.	+1		1 + xp			dx		(a > 0);
52.	Z0		1 + xp			dx		(a > 0);
			arctg ax
	+1xq arctg x
54.	Z0						dx	(p 0);
54.	Z0		2 + xp				dx	(p 0);

	+1xq arcsin		x
	+1xq arcsin
55.	Z0	1+x2		dx (p 0);	56.
55.	Z0	1 + xp		dx (p 0);	56.

57.	2	sinp x cosq x;			58.
57.	Z	sinp x cosq x;			58.
		dx

Z xq sin x 2

1+x dx (p 0);

2 + xp

dx xp + xq ;

	0			0
59.	+1	xp lnq x;	60.	1	xp lnq x dx;
59.	Z1	xp lnq x;	60.	Z0	xp lnq x dx;
		dx				1
61.	+1	xp lnq x lnr(ln x);	62.	+1
61.	Ze	xp lnq x lnr(ln x);	62.	Z	jx a1jp1 :::jx anjpn .
		dx					dx
				1

6.3. Абсолютна й умовна збiжностi невласних iнтегралiв.

Нехай ! 2 [ 1; +1] – особлива точка для функцiї f.

Невласний iнтеграл f(x) dx називається абсолютно збiж-

	a	!
!		!		j		!
!		Ra j	f(x)	j		!
ним, якщо збiгається iнтеграл			f(x)		dx. Якщо ж iнтеграл
R	jf(x)j dx розбiгається, але сам iнтеграл					R	f(x) dx збiгається,
a	jf(x)j dx розбiгається, але сам iнтеграл					a	f(x) dx збiгається,
то вiн називається умовно збiжним.
		!
Теорема 6.5. Якщо iнтеграл		f(x) dx абсолютно збiжний,
то вiн збiгається.		Ra
	Нехай на промiжку [a; !) визначенi функцiї f та g, причому
точка ! особлива для їх добутку fg.
Теорема 6.6 (oзнака Дiрiхле). Iнтеграл							!
Теорема 6.6 (oзнака Дiрiхле). Iнтеграл							f(x) g(x) dx збiга-
ється, якщо виконуються такi умови:						Ra

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.09.2019179.44 Кб19Makroekonomika_ekzamen_shpori.docx
#
20.08.2019618.25 Кб175Manual_revised_MI.rtf
#
03.11.20181.67 Mб24marketing new part 1.doc
#
29.09.2019150.2 Кб3Marketingovi_doslidzhennya_Vosstanovlen.docx
#
30.04.2019368.13 Кб3marketing_11-12_OEF_ep.doc
#
23.02.2016711.57 Кб32Matan.pdf
#
19.09.2019410.9 Кб5matematika.docx
#
21.12.201891.9 Кб5matematuka.docx
#
18.12.2018134.66 Кб6materiali_do_lektsiyi_Fenomen_svidomosti.doc
#
23.02.2016773.12 Кб63Materialna_tochka.doc
#
28.07.201936.24 Кб1maugham 7-9.docx