Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matan

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

711.57 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

101

Формулу (8:2) записують також в одному з таких виглядiв:

d'1

d'm

(t0) =

(x0)

(t0) + : : : +

(x0)

(t0);

@x1

@xm

dx1

dxm

+ : : : +

@x1

@xm

Зокрема, якщо u = f(x; y), а x = '(t) i y =

(t), то для скла-

деної функцiї u = f('(t);

(t)) формулу для похiдної можна

записати ще й так:

;

ut0 = ux0 xt0 + uy0 yt0:

А якщо u

= f(x; y; z), x = '(t), y =

(t), z

= (t), то для

складеної функцiї u = f('(t);

(t); (t)) формула для похiдної

записується в одному з таких виглядiв:

;

u0t = u0x x0t + u0y yt0 + u0z zt0:

З теореми 8.7 випливає наведена нижче теорема, яка дає формули для знаходження частинних похiдних складених функцiй багатьох змiнних.

Теорема 8.8. Якщо функцiя u = f(x1; : : : ; xm) визначена в деякому околi точки x0 = (a1; : : : ; am) 2 Rm i диференцiйовна в точцi x0, а функцiї x1 = '1(t1; : : : ; tn), : : : , xm = 'm(t1; : : : ; tn)

визначенi в деякому околi точки t0 2 Rn i мають усi частиннi похiднi в точцi t0, причому '1(t0) = a1, : : : , 'm(t0) = am, то функцiя

u = g(t1; : : : ; tn) = f('1(t1; : : : ; tn); : : : ; 'm(t1; : : : ; tn))

має всi частиннi похiднi в точцi t0, причому
	@g	(t0) =	@f	(x0)	@'1	(t0) + : : : +	@f	(x0)	@'m	(t0) (8:3)
@tk			@x1		@tk		@xm		@tk

для кожного k = 1; ::: ; n.

102

Якщо, крiм того, всi функцiї '1, : : : , 'm диференцiйовнi в точцi t0, то функцiя g також диференцiйовна в точцi t0 i її диференцiал, як i для випадку незалежних змiнних x1; : : : ; xm, має вигляд

	@u		@u
du =		dx1 + : : : +		dxm:
	@x1		@xm

Зауважимо, що формулу (8:3) записують також у такому виглядi:

@u	=	@u		@x1	+ : : : +	@u		@xm	:
@tk		@x1		@tk		@xm		@tk

Нехай l – вiсь у просторi Rm, яка проходить через точку x0 2 Rm. Така вiсь однозначно визначається своїм одиничним вектором e = (cos 1; : : : ; cos m), де 1; : : : ; m – кути мiж додатним напрямком осi l i додатними напрямками вiдповiдних координатних осей у просторi Rm. Нехай, окрiм того, функцiя f(x1; : : : ; xm) визначена в деякому околi точки x0. Скiнченна границя

lim f(x0 + te) f(x0)

t!0 t

називається похiдною функцiї f у точцi x0 вздовж осi l або в

напрямку l i позначається через @f@l (x0).

Теорема 8.9. Нехай функцiя f(x1; : : : ; xm) визначена в деякому околi точки x0 2 Rm i диференцiйовна в точцi x0. Тодi для довiльного одиничного вектора e = (cos 1; : : : ; cos m) функцiя f має похiдну в точцi x0 вздовж вiдповiдної осi l, причому

(x0) = cos 1

(x0) + : : : + cos m

(x0):

@x1

@xm

Нехай

функцiя f(x1; : : : ; xm) визначена

в деякому око-

лi точки

Rm i диференцiйовна в

точцi x0. Вектор

(x0) називається ґрадiєнтом функцiї f у точ-

(x0); : : : ;

@x1

@xm

цi x0 i позначається через grad f(x0).

103

Знайти частиннi похiднi першого порядку вiд таких функцiй:

1. z = x y;

2. z = x3y y3x;

z = 2x3 + y 4xy2 + 8;

z = (x 3y)(5y4 + 6);

z = x

z = y2 5

;

x3 + y3

7. z =

;

8. z = (5x2y y3 + 7)3;

x2 + y2

y + x

z = xp

+ p3

;

10.

z = 7yp4 x + 3 r

;

11.

z = cos(x2y);

12.

z = sin(x y) + 2 cos(x + 2y);

13.

z = sin

x + 2y

;

14.

u =

cos(x 2y)

;

x 2y2

cos(x + 2y)

15.

z = sin

cos yx;

16.

u =

x cos y y cos x

;

1 + sin x + sin y

z = cos x2

z = x sin(x

)

17.

;

18.

;

1 + x + x2

19.

z = tg

;

20.

z = tg(sin x) cos y;

1 y p

21.

z = arctg

;

22.

z =

;

arctg

z = arcsin

x2 y2

z = arctg

x + y

23.

px2

+ y2 ;

24.

y ;

25. z = xy;

27. z = esin xyxy;

29. z = ln(x2 + y2); 31. z = (1 + xy)y;

26.z = e y ;

28.

z =

;

30.

;

= ln(

+ y2)

x +

32.

z = ln tg

;

104

33.

+ y2

+ x;

34.

;

z = ln

+ y2

z = ln(x + ln y)

35.

36.

;

u =

xyz

39.

u = p

+ ;

40.

= sin(

);

+ 3

37.

u =

+ y2

+ z2

;

38.

u = ln(x + y + z);

yz2

yx z

41.

;

42.

= qsin

2 x

sin2 y + sin2 z

;

= arctg(yz

)

43.

u = (sin x)

;

44.

u = ln(1 + x + y

+ z

Знайти повнi диференцiали таких функцiй:

45.

z = x2y4 x3y3 + x4y2;

46.

z = xy3 3x2y2 + 2y4;

x + y

+ y2

47.

z =

;

48.

z =

;

x2 y2

49.

= ln p

;

50.

= p

;

+ y2

51.

z = sin(xy);

52.

z = arcsin

;

53.

z = arctg

x + y

;

54.

z = arctg(xy);

55.

1 xy

56.

u = ln(x3 + 2y3 z3);

u = xy

57.

Довести, що функцiя f(x; y) =

jxyj

неперервна в точ-

;

(0; 0)

, але не ди-

цi (0 0), має частиннi похiднi

ференцiйовна в точцi (0; 0).

= p3

58.

Знайти fx0 (0; 0) i fy0 (0; 0), якщо f(x; y)

. Чи є ця

функцiя диференцiйовною в точцi (0; 0)?

59.Чи є функцiя f(x; y) = x3 + y3 диференцiйовною в точцi (0; 0)?

60.Дослiдити на диференцiйовнiсть у точцi (0; 0) функцiю

f(x; y) =	e	1	; x2 + y2 > 0;
		x2+y2
	0;		x2 + y2 = 0:

105

61.	Довести, що функцiя
		p	xy	; x		2	+ y	2	> 0;

			x2+y2
	f(x; y) = ( 0;				x2 + y2 = 0;
	в деякому околi точки (0; 0) неперервна, має обмеженi час-
62.	тиннi похiднi fx0 i fy0 , але не диференцiйовна в точцi (0; 0).
62.	Довести, що функцiя
	(x2 + y2) sin				1		; x2 + y2 > 0;
	(x2 + y2) sin						; x2 + y2 > 0;
	f(x; y) = 0;			x2+y2			x2 + y2 = 0;

в деякому околi точки (0; 0) має частиннi похiднi fx0 i fy0 , якi розривнi в точцi (0; 0) i необмеженi в кожному околi точки (0; 0), але сама функцiя f диференцiйовна в точцi

(0; 0).

Нехай f – диференцiйовна функцiя вiдповiдної кiлькостi змiнних. Знайти частиннi похiднi вiд таких складених функцiй:


63.	u = f(x2 + y2);	64.	u = f(2xy);
65.	u = f(z2 + 2xy y3);	66.	u = f(x3 + y3);
67.	u = f(x + y; x y);	68.	u = f xy;				x		;

							y
			x			y				z
69.	u = f(x; xy; xyz);	70.	u = f		;			;			.
				y		z				x

71.Нехай ' : R ! R – диференцiйовна функцiя. Довести, що функцiя u = '(x2 + y2) є розв’язком рiвняння y @u@x = x @u@y .

72.Нехай ' : R ! R – диференцiйовна функцiя. Довес-

ти, що функцiя u = 3yx2 + '(xy) є розв’язком рiвняння x2 @u@x xy @u@y + y2 = 0.

73.Нехай ' : R ! R – диференцiйовна функцiя. Довес-

ти, що функцiя u = ey' ye2y2 є розв’язком рiвняння

(x2 y2) @u@x + xy @u@y = xy u.

106

74. Нехай ' : R2 ! R – диференцiйовна функцiя. Довести, що функцiя u = xyz ln x + x ' xy ; xz є розв’язком рiвняння

x @u@x + y @u@y + z @u@z = u + xyz .

Знайти похiдну функцiї u = f(x; y) у напрямку l з одиничним вектором e, якщо:


		2	2						p		1 .
		2	2				1		p	3
76.	f(x; y) = x3		+ y3	,	e =		1		;
75.	f(x; y) = x		y	,	e =		2 ;		2		;
						p			p
						p		2	p			2

77.Знайти похiдну функцiї u = xyz у точцi M(1; 1; 1) у напрямку l з одиничним вектором e = (cos ; cos ; cos ) та величину ґрадiєнта цiєї функцiї у точцi M.

1
78. Знайти ґрадiєнт функцiї f(x; y; z) =	p		у точцi
		x2+y2+z2
M0(x0; y0; z0) та його величину.

8.5. Частиннi похiднi та диференцiали вищих порядкiв. Формула Тейлора.

Нехай u =			f(x1; : : : ; xm)	–	функцiя		m	змiнних	i
v =	@f	(x1; : : : ; xm)	– її частинна		похiдна		по	змiннiй	xk.

@xk						@v
Якщо функцiя v має частинну				похiдну			по змiннiй xi в

					@xi

точцi x0 2 Rm, то ця похiдна називається частинною похiдною

функцiї f(x1; : : : ; xm) другого порядку по змiнних xk та xi i позначається одним iз символiв:

@2f

@2u

(x0); fxkxi (x0);

; uxkxi

@xk@xi

Iншими словами,

@2u

@xk@xi

@xi

@xk

або

@2f

(x0) =

)

(x0):

@xk

@xk@xi

@xi

107

@2u

Увипадку, коли i = k, частинну похiдну @xk@xk називають

@2u

чистою i позначають її через . У випадку, коли k 6= i, час-

@x2k

	@2u
тинна похiдна		називається змiшаною.

	@xk@xi

Теорема 8.10. Нехай функцiя f(x; y) на деякому околi точки (x0; y0) 2 Df має частиннi похiднi fxy00 i fyx00 , якi неперервнi в точцi (x0; y0). Тодi fxy00 (x0; y0) = fyx00 (x0; y0).

Аналогiчно вводяться поняття частинних похiдних вищих порядкiв: третього, четвертого i так далi. Наприклад,

@3u

@2u

@xk@xi@xj

@xj

@xk@xi

або

@2f

@3f

(x0) =

(x0):

@xk@xi

@xk@xi@xj

@xj

I в загальному,

@nu

@n 1u

@xk1 : : : @xkn 1 @xkn

@xkn

@xk1 : : : @xkn 1

або

(x0):

@nf

@n 1f

(x0) =

@xk1 : : : @xkn 1 @xkn

@xkn

@xk1 : : : @xkn 1

Як i для випадку n = 2, якщо k1 = k2 = ::: = kn, то вiдповiдна частинна похiдна n-го порядку називається чистою, в протилежному випадку – змiшаною.

Iндукцiєю вiдносно порядку похiдних з допомогою теореми 8.10 доводиться рiвнiсть неперервних змiшаних похiдних, якi беруться по однакових наборах змiнних, але в рiзнiй послiдовностi.

Аналогiчно, як для функцiї однiєї змiнної, другим диференцiалом функцiї u = f(x1; : : : ; xm), який позначається через d2u

108

або d2f(x1; : : : ; xm), називається диференцiал вiд першого диференцiала функцiї f, який розглядається як функцiя вiд змiнних x1; :::; xm при фiксованих значеннях приростiв x1; :::; xm. Iншими словами,

d2u = d(du)

або

d2f(x1; : : : ; xm) = d(df(x1; : : : ; xm)):

Так само, для кожного n 2 N маємо

dn+1u = d(dnu)

або

dn+1f(x1; : : : ; xm) = d(dnf(x1; : : : ; xm)):

Якщо функцiя u = f(x1; : : : ; xm) має диференцiал n-го порядку в точцi x0 2 Df , то функцiя f називається n разiв диференцiйовною в точцi x0. Зауважимо, що вигляд n-го диференцiала функцiї f залежить вiд n (можливо, рiзних) приростiв аргументу x = (x1; : : : ; xm). Надалi ми розглядатимемо лише випадок, коли цi прирости однаковi. Це спiльне значення приростiв позначатимемо через x = ( x1; : : : ; xm).

Якщо функцiя u = f(x1; : : : ; xm) (n 1) раз диференцiйовна в деякому околi точки x0 i n разiв диференцiйовна в точцi x0, то f має всi частиннi похiднi n-го порядку в точцi x0 i n-й диференцiал цiєї функцiї в точцi x0 має вигляд

	m	m	@nf
dnf(x0) =	kX1	Xn
				(x0) xk1	: : : xkn :
	:::
	=1	k =1	@xk1 : : : @xkn

Цю формулу в символiчному виглядi можна записати так:

dnf(x0) =	@x1 x1 + : : : +		@xm xm	n
dnf(x0) =	@x1 x1 + : : : +		@xm xm	f(x0):
		@	@

У випадку, коли змiннi x1; : : : ; xm незалежнi, ця формула набуває такого вигляду:

dnf(x0) =	@x1 dx1 + : : : +		@xm dxm	n
dnf(x0) =	@x1 dx1 + : : : +		@xm dxm	f(x0):
		@	@

109

Зокрема, для функцiї двох змiнних u = f(x; y) маємо

@					@					n
@					@
dnu =				dx +				dy u;
dnu =			@x	dx +			@y	dy u;
а для функцiї трьох змiнних u = f(x; y; z) маємо
@					@				@		n
@					@				@
dnu =		dx +				dy +				dz u:
dnu =	@x	dx +			@y	dy +			@z	dz u:

Нехай функцiя u = f(x1; : : : ; xm) (n + 1) раз диференцiйовна

в деякому околi	U точки x0	i x 2 Rm таке, що x0 + t x 2 U
для кожного t 2	[0; 1]. Тодi iснує таке 2 (0; 1), що
	n	dkf(x0)			dn+1f(x0 + x)
f(x0 + x) f(x0) =				+		:
f(x0 + x) f(x0) =			k!	+	(n + 1)!	:

k=1

Ця формула називається формулою Тейлора для функцiї багатьох змiнних.

Знайти частиннi похiднi другого порядку функцiї z = z(x; y),

якщо:

1. z = xy(x3 + y3 3);

2. z = exy;

3. z = y2(1 ex) ;

4. z = xy;

z =

;

z = ln(x2 + y);

x + y

z = arctg

;

z = y sin

;

z = cos(xy cos y);

10.

z = exy;

11.

z = arcsin

;

12.

z = (xy)x+y.

x2 + y2

Знайти

частиннi

похiднi

другого порядку функцiї

u = u(x; y; z), якщо:

13.

u = x(1 + y2z3);

14.

u = sin(x + y + z);

15.

u = ln(x2 + y2 + z2);

16.

u = xyz .

+ y4.

@3u , @x @y @z

110

Перевiрити рiвнiсть

@2u

, якщо:

@x @y

@y @x

17.

u = x2 3xy 2y2;

18. u = xy2 ;

20. u = arccos r

19.

u = arcsin(xy);

21.

Довести, що функцiя

x2 y2

= 0;

+ y2

f(x; y) =

x2+y2

; x + y

6= 0;

така, що

f00 (0; 0) = f00

(0; 0)

6 yx

22.

Встановити, чи функцiя Шварца

2xy

+ y2

= 0;

f(x; y) =

x2+y2

; x + y

6= 0;

має частиннi похiднi fxy00 (0; 0) i fyx00 (0; 0).

23.

Знайти @

u4 ;

@ u

;

, якщо

@x @y

u = x y + x2 + 2xy y2 + x3 3x2y y3 + x4 5x2y2

24. Знайти	@3u	, якщо u = x ln(xy).
	@x2 @y

25.Знайти @x@36@yu 3 , якщо u = x3 sin y + y3 sin x.

26.Знайти @x@48@yf 4 , якщо u = x4 cos y + y4 cos x.

Для функцiї u = f(x; y; z) знайти частинну похiдну

якщо:
27.				;	28. u = x4 +x2y3 xz +xy2z3;
	u =	x y3 z5
	exyz					u		x+y+z xyz
29.	u = p		;		30.		= arctg		.
								1 xy yz zx

Знайти всi частиннi похiднi другого порядку вiд наведених нижче складених функцiй, де f – двiчi диференцiйовна функцiя

вiдповiдної кiлькостi змiнних:
31. u = f(x3 y2);	32. u = f(x2 + y2 + z2);

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.09.2019179.44 Кб19Makroekonomika_ekzamen_shpori.docx
#
20.08.2019618.25 Кб175Manual_revised_MI.rtf
#
03.11.20181.67 Mб24marketing new part 1.doc
#
29.09.2019150.2 Кб3Marketingovi_doslidzhennya_Vosstanovlen.docx
#
30.04.2019368.13 Кб3marketing_11-12_OEF_ep.doc
#
23.02.2016711.57 Кб32Matan.pdf
#
19.09.2019410.9 Кб5matematika.docx
#
21.12.201891.9 Кб5matematuka.docx
#
18.12.2018134.66 Кб6materiali_do_lektsiyi_Fenomen_svidomosti.doc
#
23.02.2016773.12 Кб63Materialna_tochka.doc
#
28.07.201936.24 Кб1maugham 7-9.docx