6.2.9. Деканомический квадрат, или таблица Пифагора

Материал: в деревянном ящике, имеющем 10 отделений раз­ного размера, находятся пластмассовые прямоугольники и квад­раты разного цвета. В каждом отделении лежат квадрат и прямоу­гольники одного и того же цвета, имеющие одинаковую ширину. Цвет квадрата или прямоугольника, имеющего длину кем, совпа­дает с цветом бусин на стержне из к бусин. Квадрат со стороной 1 см — красного цвета, квадрат и прямоугольники с длиной 2 см — зеленого цвета; 3 см — розового; 4 см — желтого; 5 см — светло-голубого; 6 см — сиреневого; 7 см — белого; 8 см — коричневого; 9 см —• синего; 10 см — золотого цвета.

Цели: прямая — построение на сенсорном уровне квадрата, соответствующего как таблице умножения чисел от 1 • 1 до 10-10, так и ряду алгебраических формул; косвенная — подготовка к изу­чению арифметики и алгебры, в том числе таблицы умножения и алгебраических формул квадрата суммы 2, 3 ... 10 чисел.

Примечания: 1. Ящик стоит в открытом виде на полке на своей собственной крышке. 2. С материалом можно работать как на сто­ле, так и на коврике.

Презентация: 1. Учитель: «Посмотри, что здесь лежит! Это не про­сто прямоугольники. Из них можно построить что-то очень красивое! Ты можешь взять этот ящик и поставить его на стол». Ребенок относит ящик на стол.

2. Учитель берет красный квадрат и кладет его слева перед ребенком, оставив внизу справа достаточно места (примерно половину стола). За­тем он берет все зеленые фигуры, сортирует их по размеру и кладет в следующем порядке: один зеленый прямоугольник — справа, короткой стороной вплотную к красному квадрату; второй зеленый прямоуголь­ник — внизу, короткой стороной вплотную к красному квадрату; зеле­ный квадрат — в образовавшееся между зелеными прямоугольниками пустое поле. Так образуется квадрат большего размера.

3. Далее берут розовые фигуры, сортируют их по размеру и расклады­вают вокруг имеющегося квадрата, достраивая его до квадрата большего размера. Узкие розовые прямоугольники кладут справа и снизу, корот­кой стороной вплотную к коротким сторонам соответствующих зеленых прямоугольников; другие широкие розовые прямоугольники кладут справа и снизу короткой стороной вплотную к сторонам зеленого квадрата; в образовавшееся между прямоугольниками пустое поле кладут розовый квадрат.

4. Каждый новый квадрат, построенный таким способом, получается из предыдущего добавлением очередного слоя. Слои чередуются в следую­щем порядке: красный, зеленый, розовый, желтый, светло-голубой, сиреневый, белый, коричневый, синий, золотой.

Примечание: не обязательно показывать ребенку построение всего де-каномического квадрата. Обычно дети быстро понимают принцип рабо­ты и с удовольствием продолжают построение самостоятельно.

5. По окончании работы геометрические фигуры каждого цвета кла­дут в соответствующее отделение ящика. Ящик ставят на полку.

Особый интерес: очень точно положить подходящую фи­гуру на нужное место.

Контроль ошибок: визуальный: размеры и цвета деталей, цвета слоев квадрата; в случае неаккуратной работы детали сдви­гаются друг относительно друга, квадрат выглядит неряшливо.

Упражнения: 1. Повторение работы, показанной на пре­зентации.

2. Заменить прямоугольники и квадраты соответствующими стержнями с цветными бусинами и квадратами из цветных бусин (см. работу с математическим материалом в [55, с. 341 — 342]).

Квадратам, обозначенным ах а, соответствуют квадраты из а х а цветных бусин. Прямоугольникам, обозначенным т х л, соответ­ствуют т стержней из п цветных бусин. Например, прямоугольни­ку 1 х 2 соответствует один стержень с двумя зелеными бусинами, прямоугольнику 3x4 соответствуют три стержня с четырьмя жел­тыми бусинами на каждом.

Примечание: Деканомический квадрат наглядно иллюстрирует смысл формулы квадратов сумм 2, 3, 10 величин как в общем виде, так и в конкретной форме.

А. Если длины красного, зеленого, розового, желтого ... золо- того отрезков обозначить через a_t, а₂, соответственно, то общую формулу для квадрата сумы десяти положительных вели- чин можно было бы записать следующим образом:

(fl! + а₂ + а_ъ + ... + Дю)² = а} + а\ + ... + а²₀ + 2а_ха₂ + 2а_ха_г + ...

...+ 2діД₁₀ + 2а₂а_ъ + ... + 2а₂а₁₀ + 2а₃а_А + 2а_га_ь + ... + 2а₃а₁₀ + ...

...+ 2о₉а|₀.

На практике мы часто используем лишь две формулы такого вида, а именно:

(д + Ь)² = а² + 2аЬ + Ь²

и

(о + Ь + с)² = а² + Ъ² + с² + 2а* + 2Ьс + 2ас.

Б. Построение каждого квадрата добавлением нового слоя к предыдущему квадрату можно описать следующей выкладкой:

(а, + а₂ + ... + я*₊₁)² = [(а, + а₂ + ... + а_к) + а_к+ ,]² =

= (о, + а₂+ ... + а_к)² + a\_+i + 2о*₊₁(а, + ... + а_к).

Пусть к = 7, тогда левая часть равенства означает квадрат из 8 слоев (от красного до коричневого включительно). Первый член в правой части равенства означает квадрат из 7 слоев (от красного до белого), второй член — коричневый квадрат, третий член — все остальные прямоугольники коричневого слоя, имеющие оди­наковую длину а_к+1 и различную ширину от а_х до а_к.

Читателю рекомендуется придать к какое-либо значение от 1 до 9 и самостоятельно найти геометрическую интерпретацию при­веденной выше формулы с помощью деканомического квадрата.

В. Обратимся к интерпретации общих формул с помощью кон­кретных чисел. Мы знаем, что длина и ширина каждого из наших прямоугольников — деталей деканомического квадрата — выра­жается целым числом сантиметров, поэтому сопоставим каждому такому прямоугольнику его площадь, т.е. произведение длины на ширину. Тогда легко получаются конкретные формулы, на­пример:

(1 + 2 + 3)² = 1² + 2² + 3² + 2(1-2 + 1 3 + 2-3).

Если вырезать из деканомического квадрата его часть — какой-либо другой квадрат, например состоящий из желтого квадрата, голубого квадрата и 2 голубых прямоугольников, — получим фор­мулу: (4 + 5)² = 4² + 5² + 2-4-5.

Пусть нам требуется вычислить квадрат суммы чисел 2, 6 и 9. Вырежем из деканомического квадрата все квадраты и прямоу­гольники с длинами, не равными 2, 6 и 9 (т.е., по существу, уберем из него целые полосы). Оставшиеся фигуры сдвинем таким образом, что они снова образуют квадрат, состоящий из 3 квад­ратов (зеленого, сиреневого и синего) и прямоугольников (2 си­реневых 2- 6, 2 синих 2 • 9 и 2 синих 6-9). Отсюда получим формулу:

(2 + 6 + 9)² = 2² + б² + 9² + 2(2-6 + 2-9 + 6-9).

/. При помощи деканомического квадрата можно получить фор­мулу для квадрата разности двух величин в общей и конкретной формах. Рассмотрим, например, квадрат, состоящий из'розового квадрата, белого квадрата и двух белых прямоугольников.

Обозначим через а сторону этого большого квадрата, а через Ъ — длину белого отрезка; тогда площадь розового квадрата будет равна {а - Ь)². С другой стороны, розовый квадрат получен из боль­шого квадрата а⁷ путем удаления белого слоя, т.е. белого квадрата Ь² и двух белых прямоугольников b(a - Ь). Имеем:

(а - о)² = а²-Ъ²- 2b(a - b) = а¹ + b² - 2ab.

Правая часть этого равенства легко получается после раскры­тия скобок и приведения подобных членов.

Подставляя в эту формулу конкретные числа, в нашем случае а = 10 и Ъ = 7, получаем З² = (10 - 7)² = 10² + 7² - 2-7-10.

Еще более очевидной становится иллюстрация формулы квад­рата разности двух чисел, если, в нашем случае, мы возьмем зо­лотой квадрат 10x10, два белых прямоугольника 7х 10, розовый квадрат 3 х 3 и белый квадрат 7x7.

Какие фигуры нужно «отнять» от золотого квадрата, чтобы получить розовый квадрат? Если от золотого квадрата «отнять» два белых прямоугольника 7x10, то белый квадрат 7x7 «отни­мется» дважды, так как части этих прямоугольников при наложе­нии на золотой квадрат накладываются друг на друга и дают в пересечении удвоенный белый квадрат.

Отсюда следует, что один белый квадрат нужно прибавить, и именно тогда от золотого останется часть, равная розовому квад­рату. Запишем эти операции формально:

10² - 2-7-10 + 7² = З² = (10 - 7)², или в общем виде:

а² - 2Ьа + Ь² = (а - Ь)²,

что и требовалось.

Читателю рекомендуется повторить эти рассуждения для дру­гих чисел.

Возраст: с 4,5 лет.