Глава 7

МАТЕМАТИКА ПО МЕТОДУ МОНТЕССОРИ В ДЕТСКОМ САДУ

7.1. Методические приемы работы с математическими материалами

Для работы с математическими материалами справедливы все общие рекомендации, приведенные выше. Остановимся здесь еще на двух методических приемах, играющих особенно важную роль при обучении детей математике: «от конкретного к абстрактно­му» и «знакомство с количествами — знакомство с символами-числами — сопоставление количеств и чисел».

От конкретного к абстрактному. Подчеркнем, что речь здесь идет именно о методическом приеме, а не о дидактическом прин­ципе, поскольку на конкретном материале Монтессори демонст­рирует совершенно общие вещи, такие как структура десятичной системы, строение многозначных чисел, смысл арифметических действий и т.д., о чем шла речь в предыдущем разделе. Материалы же позволяют сформировать у ребенка чувственный образ окру­жающего мира, создать конкретную основу для абстрактных по­нятий. Они помогают ему самостоятельно через деятельность с предметами дойти до сути математических операций и постепен­но перевести их из внешнего во внутренний план.

В качестве примера приведем серию материалов, предназна­ченных для введения операции умножения. Впервые умножение многозначного числа на однозначное демонстрируется 5,5—6-лет­нему ребенку посредством золотого материала из бусин. Практи­чески такой же ход действий предполагает выполнение умноже­ния при помощи так называемых марок — небольших квадратных табличек зеленого, синего или красного цвета, на которых напи­саны числа 1, 10, 100 или 1000. Далее умножение на однозначный делитель производится при помощи больших счет и лежащих счет. Завершающим материалом серии служит так называемая шахмат­ная доска, позволяющая умножать многозначные числа на мно­гозначные. Для перехода к выполнению умножения на бумаге в столбик теперь достаточно записать промежуточные результаты вычислений, смысл которых ребенку совершенно ясен. «Игра бус на счетах, содержащая секрет такого поразительного результата, — пишет Монтессори, — является не только упражнением, которое все более и более разъясняет десятичные взаимные отношения, но даже объясняет абстрактные действия» [36, с. 28].

Для запоминания таблицы умножения имеется еще одна серия материалов: «Умножение со стержнями из бусин», «Доска для ум­ножения с контрольными картами 1 и 2», «Рабочие карты 3, 4 и 5». Таким образом, выполнению операции умножения в столбик предшествует длительная работа с конкретными материалами, по­зволяющими детям глубоко понять ее смысл гораздо раньше, чем принято думать. «Семилетний ребенок может легко дойти до это­го способа (умножения многозначного числа на многозначное. — М. С), после вышеуказанных упражнений (с конкретным матери­алом и печатными бланками. — М. С), И тогда число цифр в числе безразлично; детям даже очень нравится работать с баснословно большими числами, как и указывает на это пример, приведенный

НИЖЄ, ЯВЛЯЮЩИЙСЯ ОбЫЧНЫМ упражнением ребЯТ, КОТОРРИ- « «1ИО-

стоятельно придумывают множители и множимое (учительница никогда не подумала бы о таких громадных числах!) и выполняют его без разбора единичных факторов, без помощи счетов, но имен­но способом, обычно нами употребляемым...» [36, с. 32].

Что же свидетельствует о постепенном понимании ребенком существа дела? «Когда ребенок проделает много таких упражне­ний, — замечает Монтессори, — он вдруг сразу начинает "пред­видеть" результаты работы, без замены и раскладки бус, и этим укорачивает механический процесс; когда он воочию "увидит" в чем дело, он сможет делать более трудные деления при любом числе цифр нашим обычным способом без всякого затруднения, без необходимости достигать прогресса, без утомительных уроков и унизительных исправлений. И он не только научится выполнять деления, но будет владеть их механизмом; ему будет понятно зна­чение каждой особенности хода действия...» [36, с. 36]. В действи­тельности, здесь имеется в виду процесс интериоризации. «Предви­дение результатов работы» означает выполнение некоторых проме­жуточных действий в уме, а значит, переход их во внутренний план.

За счет чего возможен столь естественный переход¹ от деятель­ности с конкретным материалом к выполнению арифметических операций абстрактным образом? Немецкий исследователь Ф.Дрен­кхан отмечает наличие изоморфизма между «схемой» и «моде­лью» реальных взаимосвязей и отношений, существующих в дей­ствительности. Эта идея представляется нам весьма важной, оста­новимся на ней несколько подробнее.

Известно, что математические понятия и операции отражают свойства и отношения реальных предметов объективно существу­ющего мира. То, что Дренкхан называет «схемой», — это знание, которое возникает в результате абстрагирования, выделения тех или иных свойств вещей, замены их знаками и символами и пере­несения реальных отношений на символы. При этом схема и дей­ствительность являются, очевидно, непосредственно взаимосвя­занными друг с другом.

На основе подобной схемы можно построить «модель», реали­зующую свойства и отношения, присутствующие в схеме. Она придает схеме наглядность, иллюстративность и получается в ре­зультате движения в обратном направлении — от абстрактного к его какому-либо конкретному воплощению. Так, например, буси­ны, стержни, квадраты и кубы из золотого материала представля­ют собой модель натуральных чисел. В этой модели арифметиче­ские операции с числами интерпретируются как действия с мно­жествами, представляющими эти числа.

Возникающее между схемой и моделью соответствие с сохра­нением операций является изоморфизмом. Другими словами, если, например, числа а и b представлены в модели наборами предме­тов, которые мы обозначим через А я В, к если суммой чисел а и b является число с, то результат действия с наборами предметов А и В, интерпретирующего операцию сложения, — обозначим этот набор предметов через С, должен представлять число с. То же са­мое справедливо для других операций.

Однако модель дает больше, чем в нее изначально заложено, поскольку свойства, введенные в схему из общей системы отно­шений между предметами реальности, так же наглядно содержат­ся в модели. С помощью упомянутой выше модели натуральных чисел могут быть, в частности, естественно и наглядно проде­монстрированы свойства рефлексивности, симметричности, и транзитивности отношения равенства (я = а; если а = Ь, то b = о; если а = b, b = с, то а - с) и коммутативности сложения и умно­жения (о + 6 = b+ a; ab= Ьа). И обратно, если некоторое свойство наглядно проявляется в модели, то оно же обязательно должно присутствовать в схеме, если, конечно, эта модель является логи­ческим следствием из общей системы отношений.

Материалы Монтессори удачно моделируют свойства и отно­шения не только целых чисел, но и дробей. Автор нашла удобную интерпретацию как обыкновенных, так и десятичных дробей. Ее материалы позволяют также в наглядной форме представить опе­рации возведения в степень и извлечения квадратного и кубиче­ского корня, проиллюстрировать ряд общих законов, коммута­тивный и ассоциативный законы сложения и умножения, дист­рибутивный закон умножения относительно сложения и т.д. Бла­годаря именно этим качествам они обеспечивают столь естествен­ный переход от деятельности с конкретным материалом к выпол­нению математических операций общепринятым способом — в уме с использованием карандаша и бумаги.

Знакомство с количествами — знакомство с числами — сопо­ставление количеств и чисел. Этот прием носит более частный ха­рактер и способствует тому, чтобы ребенок на начальной стадии изучения математики мог двигаться поэтапно: сначала на кон­кретном материале научился считать и понял закономерности об­разования числительных, осознал способ записи единиц разных разрядов и, наконец, понял, что количествам соответствуют сим­волы — числа. Приведем примеры использования этого приема.

Обучение счету до 10 производится сначала с помощью счет­ных штанг — 10 штанг длиной от 1 до 10 дм, разделенных на красные и голубые отрезки длиной по 1 дм. Далее посредством материала «цифры из шершавой бумаги» ребенок знакомится с цифрами от 1 до 9 (а чуть позже и с нулем), затем числа первого десятка сопоставляются со штангами.

Другой пример — изучение структуры десятичной системы счис­ления и многозначных чисел. Сначала на золотом материале вво­дятся количества, представляющие единицы следующих разрядов: единиц, десятков, сотен и тысяч. Далее ребенка знакомят с чис­лами 1, 10, 100 и 1000, а также с числами 20—90, 200—900 и 2000 — 9000, обратив его внимание на количество нулей в их за­писи. Наконец, разложив на одном коврике золотой материал так, чтобы была видна иерархия разрядов десятичной системы счисле­ния, а на другом — карты с числами, устанавливают соответствие между первым и вторыми.

Еще один пример — обучение счету и освоение чисел второго десятка. Навыки счета приобретаются на материале «стержни с бусинами» для введения количеств 11 — 19; знакомство с числами 11 — 19 и сопоставление количеств и чисел происходит с помо­щью доски Сегена 1.