11.3.2. Магнітне поле колового струму.

Нехай по провіднику у вигляді кола радіуса R тече струм І. Визначимо за допомогою закону Біо - Савара - Лапласа індукцію магнітного поля на осі контуру в точці А, що створюється цим струмом (див Мал. 109). Виділимо два симетричних відносно центри кола елементи струму та , які створюють відповідні вектори індукції та .Ці вектори можна розкласти на складові вздовж () та поперек () осі контуру та . Індукція визначається векторною сумоюпо всім. З малюнка видно, що ця сума складається попарно із сум поперечних, протилежних за напрямком, складових _, які взаємно знищуються та паралельних складових , тобто їх сума і є величиною індукції. Таким чином за напрямком векторбуде направлений уздовж осі контуру, а з його вершини видно, що струм протікає проти руху годинникової стрілки. Із малюнка видно, що

Тепер знайдемо величину вектора індукції

(5)

Якщо точка А співпадає з центром кола, то r=R і в центрі колового струму буде

(6)

11.3.3. Магнітне поле соленоїда.

Соленоїд являє собою циліндр радіуса R довжиноюL. На циліндр намотано рядками провідник, причому товщиною рядків можна знехтувати в порівнянні з радіусом R (див.Мал.110а). Кожний з витків є коловим контуром, що створює на осі соленоїда індукцію , деr - радіус-вектор витка від точки спостереження. Для кожного з витків вектор направлений вздовж осі контуру, а тому величина індукції соленоїда В буде арифметичною сумою В_к усіх витків. Лінійна густина витків дорівнює n=N/L. Обчислимо величину індукції В, зробивши ряд очевидних викладок із відповідними позначеннями на Мал.110а. Елемент довжини соленоїда dl містить dN=ndl число витків. Величину dl можна визначити через кут  між r та dl, як змінну так

.

Цей елемент соленоїда створює індукцію , величина якої дорівнює

.

Провівши інтегрування dB по усій довжині соленоїда від кута до, одержимо

.

Якщо зважити, що , то остаточно одержимо

. (7)

Розподіл силових ліній індукції соленоїда представлено на Мал.110б.

Якщо точка А має координату х відносно центра соленоїда, то для цієї точки

. (8)

На Мал.111 представлено графік функції , пропорційної величині індукції В поля короткого соленоїда довжиниL=14 см та радіусами = 0.5 см та= 7 см в залежності від положення точки спостереження на осі ОХ. Як видно з графіка, длявеличина В в соленоїді є практично сталою. Для = 7 см індукція має максимум у центрі соленоїда і плавно спадає на кінцях.

Для нескінченно довгого соленоїда (R<<L) та 0 і тоді

. (9)

Саме таким у нашому прикладі є соленоїд із = 0.5 см таL=14 см.

11.4. Циркуляція індукції магнітного поля

Під циркуляцією вектора розуміють інтеграл по деякому замкненому контуру L від скалярного добутку вектора та елемента дуги контуру

. (1)

Циркуляція індукції дорівнює

, (2)

де сума береться по усім струмам, котрі охоплює контур L.

1. Для доведення (2), розглянемо плоский коловий контур із радіусом r, який охоплює нескінченно довгий прямий провідник із струмом І, що проходить через центр кола перпендикулярно його площині (див. Мал.112а). Вектор індукції магнітного поля , створеного струмом, направлений по дотичній до кола в кожній з його точок, а за величиною він дорівнює

(3)

і сталий в усіх точках кола.

Скалярний добуток , бо. Тепер, підставляючи (3) у (1), одержимо

(4)

Таким чином вираз (1) для одного струму доведено.

Розглянемо у більш загальному виді плоский довільний контур, площина якого перпендикулярна струмові І, як показано на Мал.112b. Вираз , де ми поклали, щодорівнює дузі кола радіусаr, тобто . Індукція, яку створює струм І нескінченно довгого провідника на відстаніr перпендикулярна і її величина дорівнює

. (5)

Тепер циркуляцію можна записати так

, (4)

що й треба було довести.

Розглянемоциркуляцію індукції магнітного поля тороїда, який являє собою кільцеву котушку ("бублик") з витками, намотаними на сердечник (див.Мал.113. При щільно намотаних витках, тороїд можна представити як систему великого числа послідовно з'єднаних кругових струмів, центри яких лежать на середній лінії тороїда, а площини струмів перпендикулярні цій лінії. Якщо взяти за контур середню лінію тороїда, то цей контур буде охоплювати N паралельних струмів кожного з витків, а індукція тороїда є стала і =Bdl. Запишемо тепер циркуляцію

, (5)

де С – довжина середнього кола тороїда. З одержаного виразу знайдемо величину індукції поля тороїда

, (6)

де n-густина витків тороїда.

Нескінченно великий соленоїд можна уявити як тороїд, a величини їх індукції будуть співпадати.