- •12.Електромагнітні коливання та хвилі
- •12.1. Коливальний контур
- •12.2. Незгасаючі електромагнітні коливання
- •12.3. Вільні згасаючі електромагнітні коливання
- •12.4. Вимушені коливання
- •12.5. Змінний струм
- •12.6. Рівняння Максвелла
- •12.6.1.Теорема Остроградського-Гауса
- •12.6.2.Теорема Стокса.
- •12.6.3.Струм зміщення
- •12.6.4.Перше рівняння Максвелла.
- •12.6.5.Друге рівняння Максвелла.
- •12.6.6.Третє рівняння Максвелла.
- •12.6.7.Четверте рівняння Максвелла.
- •12.6.8.Матеріальні рівняння Максвелла.
- •12.7. Диференціальні рівняння Максвелла у діелектрику
- •12.8. Плоска електромагнітна хвиля
- •12.9.Поляризація хвилі
- •12.10. Енергія, інтенсивність та тиск електромагнітної хвилі
- •12.11. Випромінювання електричного диполя
- •12.12.Контрольні питання
12.Електромагнітні коливання та хвилі
12.1. Коливальний контур
1. Коливальним RLC-контуром (див.Мал.133) називається замкнений електричний контур, у якому є конденсатор із ємністю С, омічний опір R та соленоїд з індуктивністю L. В цей контур може бути ввімкнено джерело струму із примусовою електрорушійною силою Е= Е0cost. У загальному випадку протікання струму І в контурі на елементах контуру виникає
напруга на опорі = IR,
напруга на конденсаторі ,
ЕРС індукції у соленоїді .
2. Застосовуючи друге правило Кірхгофа до такого контуру, одержимо
. (1)
Підставляючи відповідні вирази для напруги та електрорушійних сил, одержимо
. (2)
Для одержання канонічного диференціального рівняння коливань заряду на обкладках конденсатора, підставимо у (2) замість І його значення і розділимо рівняння на індуктивністьL
, (3)
де позначено
,,. (4)
3. Диференціальне рівняння (3) по своїй структурі тотожне з рівнянням механічних коливань, наприклад, коливаннями пружинного маятника. З цієї причини ми скористаємося розв'язками диференціального рівняння для механічних коливань, підставляючи відповідні значення параметрів з (4).
12.2. Незгасаючі електромагнітні коливання
1. Незгасаючі вільні електромагнітні коливання, або близькі до них, виникають, коли в контурі без зовнішнього джерела енергії (Е = 0) можна знехтувати омічним опором (R 0). В цьому випадку рівняння незгасаючих електромагнітних коливань буде мати вигляд
, (1)
а його розв'язком є
. (2)
Сталі розв'язку qo та знаходяться з початкових умов, наприклад, якщо задано величини заряду на конденсаторі та струму у контурі в деякий момент часу t.
2. Характеристики коливань
амплітуда коливань,
фаза коливань,
початкова фаза,
частота коливань
, (3)
період коливань
, (4)
струм у колі
. (5)
Коливання струму випереджають коливання заряду за фазою на /2.
Напруга на обкладках конденсатора
. (6)
Напруга на соленоїді
, (7)
. (8)
Величини та, що фігурують в (6) та (8) називаються реактивними опорами конденсатора та індуктивності відповідно.
Електрична та магнітна енергії контуру задаються виразами
. (9)
. (10)
Зважаючи на те, що
,
магнітну енергію можна записати у вигляді
. (11)
Середні значення енергій <Wm> та <Wm> за період задаються виразами
, (12)
, (13)
де середнє значення косинуса є
.
Таким чином одержимо
,
а повна енергія буде такою
. (14)
Під час коливань електрична енергія конденсатора (потенціальна енергія) переходить у магнітну енергію соленоїда (кінетична енергія) і навпаки так, що зберігається повна енергія контуру W.
Хвильовий опір контуру змінному струмові визначається так
. (15)
12.3. Вільні згасаючі електромагнітні коливання
1. Вільні згасаючі електромагнітні коливання виникають у RLC-контурі у тому випадкові, коли в ньому відсутнє зовнішнє джерело енергії (). Рівняння цих коливань запишеться у вигляді
, (1)
а його розв'язком є
, (2)
де
= =, = (3)
циклічна частота.
2. Характеристики згасаючих коливань
Амплітуда коливань є спадною функцією часу
А(t)=Aoe-t, (4)
Період коливань
==, (5)
час релаксації
=, (6)
число повних коливань за час релаксації
, (7)
логарифмічний декремент згасання
, (8)
добротність контура
, (9)
У випадку малого опору R (, а), коли можна покласти
(10)
=. (11)
Величина A2(t)-A2(t+T) пропорційна джоулевій теплоті, яка виділяється на опорі R контуру.
У випадку малого опору, коли добротність буде
. (12)
Повний опір контуру (імпеданс) визначається так
. (13)