- •12.Електромагнітні коливання та хвилі
- •12.1. Коливальний контур
- •12.2. Незгасаючі електромагнітні коливання
- •12.3. Вільні згасаючі електромагнітні коливання
- •12.4. Вимушені коливання
- •12.5. Змінний струм
- •12.6. Рівняння Максвелла
- •12.6.1.Теорема Остроградського-Гауса
- •12.6.2.Теорема Стокса.
- •12.6.3.Струм зміщення
- •12.6.4.Перше рівняння Максвелла.
- •12.6.5.Друге рівняння Максвелла.
- •12.6.6.Третє рівняння Максвелла.
- •12.6.7.Четверте рівняння Максвелла.
- •12.6.8.Матеріальні рівняння Максвелла.
- •12.7. Диференціальні рівняння Максвелла у діелектрику
- •12.8. Плоска електромагнітна хвиля
- •12.9.Поляризація хвилі
- •12.10. Енергія, інтенсивність та тиск електромагнітної хвилі
- •12.11. Випромінювання електричного диполя
- •12.12.Контрольні питання
12.6.7.Четверте рівняння Максвелла.
Четверте інтегральне рівняння Максвелла представляється теоремою Остроградського - Гауса для індукції магнітного поля
, (23)
а саме: потік індукції B магнітного поля через довільну замкнену поверхню SV дорівнює нулю. Застосувавши теорему Гауса для зміщення
, (24)
одержимо четверте рівняння Максвелла в диференціальній формі
. (25)
12.6.8.Матеріальні рівняння Максвелла.
До матеріальних рівнянь належать рівняння, що зв'язують індукцію та напруженість електричного поля
(26)
через діелектричну проникливість середовища та магнітного поля
(27)
через магнітну проникливість .
Граничні умови визначають напруженість та індукцію електричного та магнітного поля при переході з одного середовища з проникливістями тав інше середовище з проникливістямита. Граничні умови для індукціїта напруженості магнітного поля установлюються подібно граничним умовам для індукції та напруженості електричного поля , а тому граничні умови приведемо без доведення. Нехай на границі поверхнева густина зарядів, одиничний вектор нормалі до поверхні розділу середовищ, одиничний вектор, дотичний до поверхні розділу середовищ, вектор лінійної густини поверхневого струму провідності. В цьому випадку рівняння на границі будуть такими: залишаються неперервними тангенціальна складова напруженості електричного поля та нормальна складова індукції магнітного поля. Нормальна складова індукції електричного поля має стрибок рівний
,
а тангенціальна складова напруженості магнітного поля має стрибок рівний
H2 - H1 = .
Вектор має напрямок по дотичній до поверхні і чисельно дорівнює,
де сила струму провідності, що проходить мерез малу дільницю довжиноюdl перерізу поверхні, проведеного напрямку поверхневого струму.
12.7. Диференціальні рівняння Максвелла у діелектрику
Розглянемо рівняння Максвелла в середовищі, де відсутні вільні електричні заряди і макроскопічні струми. Для такого середовища диференціальні рівняння мають вигляд
,,. (1)
Узявши від першого рівняння Максвелла операцію rot, матимемо
. (2)
Підставивши з другого рівняння Максвелла значення матимемо
. (3)
Операція подвійного rot може бути записана так
, (4)
а зважаючи на те, що , маємо
. (5)
Нагадаємо, що оператор Лапласа визначається так
. (6)
Одержане рівняння є рівнянням для напруженості електромагнітної хвилі
(7)
з фазовою швидкістю , показником заломлення середовища, а величинамає розмірність швидкості і є швидкість розповсюдження світла с. Аналогічно можна одержати хвильове рівняння і для напруженості магнітного поля
.
12.8. Плоска електромагнітна хвиля
Для плоскої електромагнітної хвилі, що розповсюджується в напрямкові ОХ, складові поля в загальному випадку можна представити у вигляді
. (1)
Підстановка цих виразів у перші два рівняння Максвелла показує, що всі частинні похідні від проекційцих векторів на осі координатOY, OZ дорівнюють нулю. Крім указаного, частинні похідні від х-компонент цих векторів по часу t і змінній х також дорівнюють нулю, що означає їх незалежність від координат і часу. Тоді для змінного поля з Ех=0, Нх=0 вектори перпендикулярні напрямкові швидкості розповсюдження хвилі . Таким чином три вектори утворюють праву трійку векторів. Приймемо напрямOX вздовж вектора , напрям вектораOZ вздовж вектора і тоді напрям швидкостібуде вздовж осіOY. Покладемо
та
і після прямої підстановки в рівняння
, (2)
одержимо
=. (3)
На Мал.137 представлено взаємне розташування напруженостей електромагнітного поля в просторі та їх залежність від змінної y, для плоскої хвилі.