- •12.Електромагнітні коливання та хвилі
- •12.1. Коливальний контур
- •12.2. Незгасаючі електромагнітні коливання
- •12.3. Вільні згасаючі електромагнітні коливання
- •12.4. Вимушені коливання
- •12.5. Змінний струм
- •12.6. Рівняння Максвелла
- •12.6.1.Теорема Остроградського-Гауса
- •12.6.2.Теорема Стокса.
- •12.6.3.Струм зміщення
- •12.6.4.Перше рівняння Максвелла.
- •12.6.5.Друге рівняння Максвелла.
- •12.6.6.Третє рівняння Максвелла.
- •12.6.7.Четверте рівняння Максвелла.
- •12.6.8.Матеріальні рівняння Максвелла.
- •12.7. Диференціальні рівняння Максвелла у діелектрику
- •12.8. Плоска електромагнітна хвиля
- •12.9.Поляризація хвилі
- •12.10. Енергія, інтенсивність та тиск електромагнітної хвилі
- •12.11. Випромінювання електричного диполя
- •12.12.Контрольні питання
12.4. Вимушені коливання
Рівняння вимушених коливань у контурі, що виникають внаслідок дії періодичного джерела струму має вид
(1)
з частинним розв'язком
, (2)
де .
Амплітуда коливань знаходиться стандартним розв'язком рівняння (1) і дорівнює
. (3)
Після підстановки характеристик елементів контуру одержимо
=. (4)
В (4) позначено реактивний опір на індуктивності тареактивний опір на конденсаторі, які ми визначимо нижче. Початкова фаза визначається так
. (5)
Загальний розв’язок рівняння вимушених коливань є сумою загального розв'язку однорідного рівняння (рівняння вільних згасаючих коливань) та знайденого частинного розв'язку. З часом загальний розв’язок однорідного рівняння згасне (е-t0) й установляться коливання, що задаються частинним розв'язком.
Струм у контурі має величину
, (6)
де
Іо=,Z=. (7)
Величина Z називається імпедансом і є повним опором струмові у RLC-контурі. Для зручності подальших викладок фазових співвідношень приймемо початкову фазу струму у вигляді
або
. (8)
Тепер струм у колі запишеться у вигляді
, (9)
а заряд
. (10)
Напруга на опорі R становить
(11)
Напруга на індуктивності L. Запишемо вираз (п.2) у вигляді
(12)
де
є напруга на індуктивності з амплітудою
. (13)
Величина
(14)
має розмірність опору і називається реактивним опором індуктивності. Напруга на індуктивності випереджає напругу на опорі R за фазою на /2.
Напруга на конденсаторі C
.
,
= UoC cos(t - -/2), (15)
де
(16)
є амплітуда напруги на конденсаторі. Величина
(17)
має розмірність опору і називаєтьсяреактивним опором конденсатора. Напруга на конденсаторі UC запізнюється відносно напруги на омічному опорі UR за фазою на /2.
Фазові співвідношення між можна представити на фазовій (комплексній) площині за допомогою відповідних векторів, як це показано на Мал.134 із відповідними зсувами за фазою.
Резонанс напруги. Напруга та заряд на конденсаторі є функцією зовнішньої частоти . Положення екстремуму задається резонансною частотою
(18)
і визначає їх максимальне значення. Для малих R коли, , резонансну частоту можна покласти рівноюo, і
. (19)
В одержаному виразі Q - є добротність контуру і вона показує у скільки разів напруга на конденсаторі при резонансі може перевищити прикладену напругу .
Резонанс струму. Максимальне значення струму в контурі задається мінімальним значенням імпедансу Z, яке визначається умовою , тобто
. (20)
При цьому резонансна частота становить
. (21)
При резонансі струму його амплітуда буде максимальною
. (22)
Приклад 1. В контурі діє змушуюче джерело змінного струму з частотою і напругою . Резонанс струму спостерігається при ємності конденсатора , причому . Обчислити індуктивність контуру та омічний опір.
Дано: , =50 Гц, , , L-?, R-?
Розв’язок