18. Квантова оптика

18.1. Теплове випромінювання та його рівноважність

Дослідним шляхом установлено, що усі тіла, що мають відмінну від 0 температуру Т, випромінюють електромагнітні хвилі. Теплове випромінювання ­­­­ це електромагнітне випромінювання тіла, що має температуру Т>0.Випромінювання відбувається за рахунок внутрішньої теплової енергії тіла. Теплове випромінювання знаходиться в динамічній рівновазі з внутрішньою енергією тіла: при збільшенні температури тіла збільшується енергія випромінювання і навпаки, при зменшенні температури тіла зменшується енергія випромінювання.

Теплове випромінювання має такі інтегральні та диференціальні характеристики

Енергетична світність ­­­­ енергія R_T, що випромінюється за одиницю часу через одиничний переріз, на всіх дожинах хвиль, в усіх напрямках (у тілесному куті в стр). Енергетична світність є інтегральною характеристикою теплового випромінювання.

Світловий потік або інтенсивність випромінювання  енергія світла, що поширюється за одиницю часу з одиничної площі поверхні. Світловий потік є інтегральною характеристикою теплового випромінювання.

Випромінювальна здатність. В інтервалі частот енергетична світність пропорційна

.

Коефіцієнт пропорційності називаєтьсявипромінювальною здатністю, який чисельно дорівнює енергетичній світності тіла в одиничному інтервалі частот (=1). Випромінювальна здатність є диференціальною характеристикою теплового випромінювання.

Поглинальна здатність ­­­­ відношення світлового потоку поглинутого поверхнею тіла при температурі Т на частоті, до світлового потоку, що падає нормально на ту ж поверхню тіла на тій же частоті

. (1)

За визначенням величина поглинальної здатності лежить в інтервалі [0,1]. Поглинальна здатність є диференціальною характеристикою теплового випромінювання.

Для аналізу теплового випромінювання вводиться модель абсолютно чорного тіла (АЧТ) – це тіло, яке при всіх температурах і на всіх частотах має поглинальну здатність . Жодне з тіл у природі не може вважатися абсолютно чорним, але найкращим наближенням до нього може бути порожнина сфери з малим отвором, яку показано на Мал.176. Електромагнітний промінь, що заходить усередину сфери, після численних поглинань і віддзеркалень, практично не вийде з порожнини сфери. Така порожнина буде мати поглинальну здатність=1.

18.2. Закони теплового випромінювання

1. Закон Кірхгофа. Дослідним шляхом Кірхгоф установив, що відношення випромінювальної здатності тіл до їх поглинальної здатності при температурі Т на частоті не залежить від природи тіла й визначається універсальною функцією частотий температури тіла

, (1)

де випромінювальна здатність АЧТ. Функцію називають також універсальною функцією Кірхгофа. Залежність функції Кірхгофа від частоти представлена на Мал.177.

М.Планк в 1900 р встановив (див. нижче) явний вид функції Кірхгофа

, (2)

де­­­­ стала Планка, ­­­­ швидкість поширення світла у вакуумі, ­­­­ стала Больцмана.

Знаючи поглинальну здатність тіла, із (1) можна одержати вираз для випромінювальної здатності

,

а потім і енергетичну світність тіла

.

Розподіл поглинальної здатності по частоті тіла можна одержати експериментально, а інтегрування провести чисельними методами.

2. Закон Cтефана-Больцмана. Енергетична світність абсолютно чорного тіла R^* пропорційна четвертій степені його температури

, (3)

де  стала Стефана-Больцмана. Цей закон експериментально установив в 1879 році Й.Стефан, а теоретичне обґрунтування у 1884 році дав Л.Больцман.

3. Закон випромінювання Віна. Наближений закон теплового випромінювання в залежності від температури установив німецький фізик Він. За Віном випромінювальна здатність тіла пропорційна кубу частоти

, (4)

де  деяка функція від частоти й температури. Такий вид приймає граничний вираз формули М.Планка (2) при великих частотах .

4. Закон зміщення Віна. Він довів, що положення максимуму універсальної функції Кірхгофазадовольняє співвідношенню

T= b, (5)

де Т ­­­­ температура тіла,  стала Віна. Це означає, що при підвищенні температури тіла максимум його теплового випромінювання зміщується в бік менших довжин хвилі (величина зменшується) і навпаки.

5. Формула Релея - Джінса. З точки зору класичної фізики, випромінювання АЧТ можна представити як реалізацію сукупності просторових стоячих електромагнітних хвиль в обмеженому об’ємі з відповідними частотами. Останні визначаються граничними умовами. Число таких стоячих хвиль на частотів одиничному об’ємі при двох можливих поляризаціях дорівнює

. (6)

Вважаючи, що на кожну коливальну ступінь свободи приходиться енергія кТ, енергію в інтервалі частот від можна записати у вигляді

, (7)

Тепер випромінювальну здатність АЧТ можна одержати у вигляді

.

або

. (8)

Вираз (8) є формулою Релея- Джінса. В області великих частот (малих довжин хвиль) енергетична світність за (8) прямує до нескінченності, що різко розходиться з експериментом (див.). Цю розбіжність у класичній фізиці названоультрафіолетовою катастрофою. В області малих частот формула Релєя-Джінса збігається з граничним виразом для формули М.Планка при. Крім того, із теорії М.Планка випливає, що на одну коливальну ступінь свободи приходиться енергія

, (9)

яка залежить від частоти , замість енергіїkTза класичною теорією, якою користувалися при виведенні формули (8).

6. Гіпотеза та формула Планка. В 1900 році М.Планк висунув гіпотезу, що енергія електромагнітного поля є дискретною і складається з порцій (квантів) енергії . Пізніше було встановлено, що

, (10)

де стала

,

називається перекресленою або просто сталою Планка, або сталою Дірака, який її увів уперше. Повна енергія випромінювання на частоті кратна (10) і дорівнює

. (11)

З цієї точки зору Планк розглянув випромінювальну здатність абсолютно чорного тіла за наступною схемою.

За розподілом Больцмана ймовірність P(,T) того, що енергія на частотімає n квантів=ћ можна записати так

, (12)

де

, (13)

а середнє значення енергії <> на цій частоті можна представити так

. (14)

Уведемо змінну і припустимо, що х може змінюватися неперервно. Тоді

. (15)

Під знаком логарифма знаходиться сума S спадної геометричної прогресії з першим членом а=1 і знаменником . Її значення

. (16)

Тепер

. (17)

Підставивши в (17) значення змінної х, одержимо

. (18)

Густина енергії, що приходиться на інтервал частот від дорівнює

. (19)

За (17) знайдемо

. (20)

Зважаючи на те, що

,

можна записати

.

Використовуючи одержаний зв'язок, випромінювальну здатність АЧТ можна записати через довжину хвилі у виді

. (20)

Одержаний вираз для  називається формулою Планка. Властивості f(,T) у залежності від температури та частоти можна дослідити з наведеного нижче графіка на Мал.179 для деякої модельної функції

.. (21)

Формула Планка точно узгоджується з експериментом у всьому

діапазоні частот . З графіка видно, що при збільшенні температури тіла максимум зміщується в напрямку зростання частоти(х~). Це відповідає закону Віна. При умовімаємоі формула Планка (20) переходить у формулу Релея-Джінса (8).