11.2. Закон Бiо - Савара – Лапласа

11.2.1.Закон Бiо - Савара - Лапласа.

Біо та Савар експериментально дослідили вектор індукції магнітного поля dB, створеного елементом електричного струму dl, а Лаплас узагальнив ці дослідження, зв’язавши відповідні величини у витончену векторну формулу

, (1)

де

,

а

ємагнітна стала,  радіус-вектор положення точки спостереження відносно елемента струму , І сила струму в провіднику. Напрямок задається напрямком струму. Вектор, як векторний добуток двох векторів, є вектор площині, яку вони утворюють, і направлений так, що з його вершини поворот вектора до найкоротшим шляхом видно проти годинникової стрілки (див.Мал.107). Величина векторадорівнює

.

Із закону Біо-Савара-Лапласа випливає принцип суперпозиції, який визначає, що магнітне поле, створене декількома струмами, має індукцію , яка визначається векторною сумоюN індукцій , створених кожним струмомI_i окремо

.

Якщо взяти деякий провідник із струмом, то індукція магнітного поля в точці, що визначається вектором , тепер може бути записана у вигляді

, (2)

де інтеграл береться по дузі провідника із струмом із точки 1 до точки 2.

У магнітних середовищах, у порівнянні з вакуумом, величина індукції магнітного поля збільшується вразів і становить

.

Коефіцієнт називається магнітною проникливістю середовища.

Індукція є силовою характеристикою магнітного поля, але для зручності розрахунків інших характеристик поля введено поряд з індукцієюще й напруженість поля, яка для діа- та парамагнетиків визначається так

. (3)

Нижче буде докладніше розглянуто визначення та зміст напруженості магнітного поля.

11.2.2.Магнітне поле заряду, що рухається.

Струм

(4)

в елементі провідника dl створюють dN електронів із зарядом q=е, які рухаються з дрейфовою швидкістю , причому . За законом Біо - Савара - Лапласа ці dN електронів створюють індукціюмагнітного поля, а тому індукція поля, створеного одним зарядом, може бути обчислена так

,

, . (5)

11.3. Магнітне поле деяких провідників із струмами

Застосуємо закон Біо-Савара-Лапласа для визначення індукції магнітного поля, створюваного деякими провідниками із струмом.

11.3.1. Магнітне поле прямого провідника із струмом.

Позначимо необхідні для розрахунку величини так, як це показано на Мал.108, зробивши декілька зауважень. Точка спостереження А визначається радіус-вектором відносно елемента струму , що направлений до точки А.

Векторний добуток , для будь-якого, задає для в точці Аоднаковий напрямок по дотичній до кола з радіусом b, де b  відстань точки А до струму. Площина кола  струмові. Таким чином, для визначення індукції, створюваної струмом провідника, потрібно знайти величину dB для кожного dl і проінтегрувати її по усій довжині провідника. Зробимо це у такий спосіб.

З точки А елемент dl видно під кутом d, а кінці провідника із струмом утворюють із відповідними векторами кути₁ та ₂^’ . Через dr позначено довжину , опущеного з кінця на вектор. Для визначення величини зробимо очевидні розрахунки, використовуючи геометрію Мал.28,

.

Підставивши ці значення у формулу Біо-Савара-Лапласа , одержимо вираз дляdB, де змінну l замінено на

. (1)

Для визначення величини індукції В в точці А за принципом суперпозиції, проведемо інтегрування dB по змінній у межах від до (див.Мал.28)

,. (2)

Якщо зробити заміну _, де  кут, суміжний куту , то одержимо для короткого провідника

. (3)

У випадку нескінченно довгого прямолінійного провідника (b << довжини провідника L) кути і тоді

. (4)