3. Оцінка невідомих математичних сподівань м[х] і m[у] генеральних сукупностей х і у за допомогою довірчого інтервалу з надійністю 0,95.

Інтервальною називають оцінку, яка визначається двома числами - кінцями інтервалу.

Нехай за даними вибірки знайдена статистична характеристика θ*, яка служить оцінкою невідомого параметра θ.

Будемо вважати θ сталим числом. Оцінка θ* тим точніше визначає параметр θ, чим менше абсолютна величина різниці θ - θ*^.. Іншими словами , якщо ∂ > 0 і │ θ - θ*^.│ < ∂, то чим менше ∂, тим оцінка точніша. Таким чином, додатне число ∂ характеризує точність оцінки.

Однак, статистичні методи не дозволяють категорично

стверджувати, що оцінка θ*^. задовольняє нерівність │ θ - θ*^.│ < ∂.

Можна лише говорити про імовірність y, з якою ця нерівність здійснюється.

Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінки θ за θ*^. називають імовірність y, з якою виконується нерівність │ θ - θ*^.│ < ∂.

Зазвичай надійність оцінки задається наперед, причому в якості у беруть число, близьке до одиниці. Найчастіше задають надійність, що дорівнює 0,95; 0,99; 0,999.

Нехай імовірність того, що │ θ - θ*^.│ < ∂ дорівнює у:

Р(│ θ - θ*^.│ < ∂) = у.

Замінивши нерівність │ θ - θ*^.│ < ∂, рівносильною їй подвійною нерівністю - ∂ < θ - θ*^.< ∂, або θ*- ∂< θ< θ*^.+ ∂ , маємо Р[θ*- ∂< θ< θ*^.+ ∂]=у.

Це співвідношення слід розуміти так: ймовірність того, що інтервал (θ*- ∂, θ*^.+ ∂) заключає в собі (покриває) невідомий параметр θ , дорівнює у.

Довірчим називають інтервал (θ*- ∂, θ*^.+ ∂), який покриває невідомий параметр із заданою надійністю у .

Інтервал (θ*- ∂, θ*^.+ ∂), має випадкові кінці, які називають довірчими границями. В різних вибірках отримують різні значення θ*, отже від вибірки до вибірки будуть змінюватися і кінці довірчого інтервалу, тобто довірчі границі самі є випадковими величинами .

Оскільки випадковою величиною є не параметр θ, що оцінюється, а довірчий інтервал, то правильніше говорити не про імовірність попадання θ в довірчий інтервал, а про імовірність того, що довірчий інтервал покриє θ .

Наприклад, потрібно оцінити невідоме математичне сподівання а за допомогою довірчих інтервалів, якщо кількісна оцінка Х розподілена нормально, а середнє квадратичне відхилення невідоме.

За даними вибірки можна побудувати випадкову величину Т (її можливі значення будемо позначати через t ):

де Х - вибіркове середнє;

S - „виправлене" середнє квадратичне відхилення;

n - обсяг вибірки.

Ця величина має розподіл Стьюдента з k = n -1 ступенями вільності.

Густина розподілу Стьюдента:

де

Видно, що розподіл Стьюдента визначається параметром n - обсягом вибірки (або, що те ж саме, числом ступенів вільності k = n -1) і не залежить від невідомих параметрів а і . Ця особливість є значною перевагою цього розподілу.

Оскільки S(t,n) - парна функція від t, ймовірність виконання нерівності визначається так:

Замінивши нерівність у круглих дужках рівносильною подвійною нерівністю, отримаємо:

Отже, користуючись розподілом Стьюдента, ми знайшли

довірчий інтервал , який покриває невідомий параметр з надійністю у. Тут випадкові величини Х і S замінені невипадковими величинами х i s, знайденими за вибіркою. Параметр t_Y знаходимо з таблиці, наведеної в додатку 2, за заданими n і у .

Ми маємо нормально розподілену кількісну ознаку генеральної сукупності. За вибіркою n=50 знайдені вибіркове середнє (з пункту 2):

для вибірки Х :

для вибірки Y :

і “виправлене ” середнє квадратичне відхилення :

(3.1)

для вибірки Х : 1,1191

для вибірки Y : 0,6943

Отже, ми можемо оцінити невідомі математичні сподівання за допомогою довірчого інтервалу з надійністю 0,95.