Зміст

1.Побудова гістограм частот……………………………………………………...7

1.1 Побудова гістограми частот вибірки X…………………………………….7

1.2 Побудова гістограми частот вибірки Y……………………………………11

2. Знаходження оцінок математичних сподівань і дисперсій генеральних сукупностей………………………………………………………………………...12

3. Оцінка невідомих математичних сподівань М[Х] і M[У] генеральних сукупностей Х і У за допомогою довірчого інтервалу………………………..19

4. Перевірка гіпотези про рівність дисперсій генеральних сукупностей для вибірок X та Y……………………………………………………………………..23

5. Побудова нормальних кривих за емпіричними даними…………………..24

5.1 Знаходження вибіркової середньої та середнього квадратичного відхилення методом добутків…………………………………………………..24

5.2 Знаходження вирівнюючих частот кожної вибірки……………………..25

5.3 Побудова полігонів частот і нормальних кривих………………………..26

6. Перевірка гіпотези про нормальний розподіл генеральних сукупностей X та У використовуючи критерій погодженості Пірсона………………………28

7. Перевірити гіпотезу про рівність нулю математичних сподівань генеральних сукупностей Х та У………………………………………………..30

8. Оцінка відхилення емпіричного розподілу від …………………………….33

9.Математична модель вибірок…………………………………………………37

10.Висновк………………………………………………………………………….39

Розглянемо вибіркову сукупність Х.

X	0,733	-0,288	0,942	-0,568	-1,334	-2,127	0,034	-1,473	0,079	0,768
	0,402	1,810	0,772	-0,109	1,278	1,297	1,026	-0,813	-0,528	0,665
	0,226	1,378	1,250	1,045	-0,515	-1,433	2,990	0,071	0,110	0,084
	1,216	0,584	-0,199	0,031	-0,566	-1,345	-0,574	0,524	0,899	-0,880
	0,843	-1,045	0,394	-1,202	2,923	-3,001	-0,491	1,266	-0,521	-0,579

Відсортуємо цю таблицю за зростанням за допомогою Excel. В результаті отримаємо наступну таблицю:

X	3-3,001	-2,127	-1,473	-1,433	-1,345	-1,334	-1,202	-1,045	-0,88	-0,813
	-0,579	-0,574	-0,568	-0,566	-0,528	-0,521	-0,515	-0,491	-0,288	-0,199
	-0,109	0,031	0,034	0,071	0,079	0,084	0,11	0,226	0,394	0,402
	0,524	0,584	0,665	0,722	0,733	0,768	0,843	0,899	0,942	1,026
	1,045	1,216	1,25	1,266	1,278	1,297	1,378	1,81	2,923	2,99

Тепер будемо реалізовувати поставлені завдання уже з отриманою таблицею.

Розглянемо вибіркову сукупність Y.

Y	-0,144	-0,254	0,193	-1,346	0,500	0,479	-1,114	-1,206	0,292	0,551
	1,068	1,501	0,574	-0,451	0,359	0,074	0,191	-0,831	0,427	0,375
	-0,432	0,192	-1,181	-0,518	0,326	0,008	1,041	-0,736	0,210	-1,658
	1,410	-1,190	-0,509	-0,921	-0,287	-0,344	-0,513	0,418	-0,120	-0,851
	-0,318	-0,886	-0,094	0,161	1,114	-0,158	-0,086	0,340	-0,656	0,234

Y	-1,658	-1,346	-1,206	-1,19	-1,181	-1,114	-0,921	-0,886	-0,851	-0,831
	-0,736	-0,656	-0,518	-0,513	-0,509	-0,451	-0,432	-0,344	-0,318	-0,287
	-0,254	-0,158	-0,144	-0,12	-0,094	-0,086	0,008	0,074	0,161	0,191
	0,192	0,193	0,21	0,234	0,292	0,326	0,34	0,359	0,375	0,418
	0,427	0,479	0,5	0,551	0,574	1,041	1,068	1,114	1,41	1,501

Відсортуємо цю таблицю за зростанням за допомогою Excel. В результаті отримаємо наступну таблицю:

Тепер будемо реалізовувати поставлені завдання уже з отриманою таблицею.

1._Побудова гістограм частот.

Гістограмою частот називають ступінчату фігуру, що складається із прямокутників, основами яких є часткові інтервали довжиною h, а висоти дорівнюють n_i/h (густина частоти). Площа і-го часткового прямокутника дорівнює h(n_i /h) = n_i – сумі частот варіант і-го інтервалу; отже, площа гістограми частот дорівнює сумі всіх частот, тобто об’єму вибірки [1, c. 153].

1.1_Побудова гістограми частот вибірки X:

Для побудови гістограми необхідно використовувати частоту. Частота для кожної варіанти даної сукупності рівна 1.

Розіб’ємо дану сукупність на певні інтервали. Для цього спочатку знайдемо розмах варіації R.

R=X_max-X_min

R=2,99-(-3,001)=5,991

Кількість часткових інтервалів визначимо за формулою Стреджеса:

N=6.644≈7

Округлимо отримане значення. Отримаємо кількість інтервалів.

Крок буде рівним h

За початок відліку 1 інтервалу візьмемо X_поч=-3,001

Тепер розбиваємо від початкового значення всі наступні інтервали с кроком який ми вже отримали h=0,86.

Інтервали:

-3,001	-2,141
-2,141	-1,281
-1,281	-0,421
-0,421	0,439
0,439	1,299
1,299	2,159
2,159	3,019

Тепер створимо нову сукупність. Кожний елемент якої буде рівний середньому значенню варіант відповідного інтервалу. А частота буде рівна сумі частот варіант, що входять в цей інтервал. В результаті отримаємо таку таблицю:

zi	-3,001	-1,542	-0,690	0,070	0,941	1,594	2,957
ni	1	5	12	12	16	2	2

В подальших розрахунках z будемо використовувати замість х і всі результати отримані від z будемо вважати, що отримали від х.

Отриману таблицю ми будемо використовувати у подальшому розв’язанні. Створимо таблицю, яка буде складатись з інтервалів частот і щільності частот.

Таблиця №1

Номер інтервалу	Інтервал	Частота (ni)	Щільність (ni/h)
1	-3,001..-2,141	1	1,163
2	-2,141..-1,281	5	5,814
3	-1,281..-0,421	12	13,954
4	-0,421..0,439	12	13,954
5	0,439..1,299	16	18,605
6	1,299..2,159	2	2,326
7	2,159..3,019	2	2,326

За даним розподілом вибірки X побудуємо гістограму частот:

Рис.1. Гістограма частот вибірки X

1.2. Побудова гістограми частот вибірки y:

Для побудови гістограми необхідно використовувати частоту. Частота для кожної варіанти даної сукупності рівна 1.

Кількість часткових інтервалів визначимо за формулою Стреджеса:

N=6.644≈7

Розіб’ємо дану сукупність на певні інтервали. Для цього спочатку знайдемо розмах варіації R.

R=y_max-y_min

R=1,501-(-1,658)=3,159.

Розіб’ємо цю сукупність на 7 інтервалів. Тоді крок h

За початок відліку 1 інтервалу візьмемо y_поч=-1,658

Тепер розбиваємо від початкового значення всі наступні інтервали з кроком який ми вже отримали h=0,45.

Інтервали:

-1,658	-1,207
-1,207	-0,755
-0,755	-0,304
-0,304	0,147
0,147	0,598
0,598	1,050
1,050	1,501

Тепер створимо нову сукупність. Кожний елемент якої буде рівний середньому значенню варіант відповідного інтервалу. А частота буде рівна сумі частот варіант, що входять в цей інтервал. В результаті отримаємо таку таблицю:

bi	-1,502	-1,0225	-0,49744	-0,11789	0,342471	1,041	1,27325
ni	2	8	9	9	17	1	4

В подальших розрахунках b будемо використовувати замість y і всі результати отримані від b будемо вважати, що отримали від y.

Отриману таблицю ми будемо використовувати у подальшому розв’язанні. Створимо таблицю, яка буде складатись з інтервалів частот і щільності частот.

Таблиця №2

Номер інтервалу	Інтервал	Частота (ni)	Щільність (ni/h)
1	-1,658..-1,207	2	4,432
2	-1,207..-0,755	8	17,728
3	-0,755..-0,304	9	19,944
4	-0,304..0,147	9	19,944
5	0,147..0,598	17	37,671
6	0,598..1,050	1	2,216
7	1,050..1.501	4	8,864

За даним розподілом вибірки Y побудуємо гістограму частот:

Рис.2. Гістограма частот вибірки Y.

Висновок: При виконанні завдання для кожної вибірки були побудовані гістограми частот. Площа кожного часткового і-го прямокутника, на гістограмі, – це сума частот варіант, що потрапили у даний інтервал. Площа кожної гістограми частот дорівнює сумі всіх частот, тобто об’єму відповідної вибірки.