8. Оцінка відхилення емпіричного розподілу від нормального.

Для оцінки відхилення емпіричного розподілу від нормального використовують різні характеристики. Зокрема, до них відносяться асиметрія і ексцес.

Асиметрія емпіричного розподілу визначається за формулою[1, cт.186]:

(8.1)

де m₃ – центральний емпіричний момент третього порядку.

Ексцес емпіричного розподілу визначається за формулою

(8.2)

де m₄ – центральний емпіричний момент четвертого порядку.

Моменти m₃ і m₄ обчислимо методом моментів за формулами:

(8.3)

(8.4)

де М_j – умовний момент k-го порядку, h – довжина інтервалу.

Умовні моменти будемо обчислювати за формулою:

(8.5)

Вибірка Х.

Скористаємось вже обрахованими раніше значеннями умовних варіант.

Отже нехай для вибірки Х: h = 0,8558, с = -0,0055. Тоді:

Таблиця №9

від	до	Yi	u	ni	niui2	niui2	niui3	niui4	ni(ui+1)4
-3	-2,1451	-2,5725	-3	1	-3	9	-27	81	16
-2,1451	-1,2892	-1,7172	-2	5	-10	20	-40	80	5
-1,2892	-0,4334	-0,8613	-1	12	-12	12	-12	12	0
-0,4334	0,4224	-0,0055	0	12	0	0	0	0	12
0,4224	1,2782	0,8503	1	15	15	15	15	15	240
1,2782	2,1341	1,7062	2	3	6	12	24	48	243
2,1341	2,99	2,5620	3	2	6	18	54	162	512
				50	2	86	14	398	1028

Контрольна сума: Σn_iu_i⁴ +4Σn_iu_i³ + 6Σn_iu_i² + 4Σn_iu_i + n = 1028

де n_i – сума частот і-го інтервалу, u_i – умовні варіанти

Умовні моменти першого та другого порядків другої вибірки були знайдені раніше (розділ 2): , .

Обрахуємо умовні моменти третього та четвертого порядків за формулою (8.5):

Знайдемо центральні емпіричні моменти третього та четвертого порядків за формулами (8.3) і (8.4):

=0,05

=4,2557

Знайдемо асиметрію і ексцес за формулами (8.1) і (8.2), вибіркові середні квадратичні знайдені раніше (розділ 2). Обраховуємо для вибірки X:

=0,03398

=-0,1753

Аналогічно працюємо і з вибіркою Y. Скористаємось вже обрахованими раніше значеннями умовних варіант та з таблиці №8. Отже для вибірки Y: h=0,4512 с=-0,0785

Таблиця №10

від	до	Yi	u	ni	niui2	niui2	niui3	niui4	ni(ui+1)4
-1,658	-1,2067	-1,4323	-3	2	-6	18	-54	162	32
-1,2067	-0,7554	-0,9810	-2	8	-16	32	-64	128	8
-0,7554	-0,3041	-0,5297	-1	9	-9	9	-9	9	0
-0,3041	0,1471	-0,0785	0	9	0	0	0	0	9
0,1471	0,5984	0,3727	1	17	17	17	17	17	272
0,5984	1,0497	0,8240	2	1	2	4	8	16	81
1,0497	1,501	1,2753	3	4	12	36	108	324	1024
				50	0	116	6	656	1426

Контрольна сума: Σn_iu_i⁴ +4Σn_iu_i³ + 6Σn_iu_i² + 4Σn_iu_i + n = 1426

де n_i – сума частот і-го інтервалу, u_i – умовні варіанти

Умовні моменти першого та другого порядків другої вибірки були знайдені раніше (розділ 2): ,.

Обрахуємо умовні моменти третього та четвертого порядків за формулою:

Знайдемо центральні емпіричні моменти третього та четвертого порядків за формулами (8.3) і (8.4):

= 0,01

=0,5441

Знайдемо асиметрію і ексцес за формулами (8.1) і (8.2), вибіркові середні квадратичні знайдені раніше (розділ 2). Обраховуємо для вибірки X:

= 0,0339

=-0,5624

Висновок: В даному розділі ми обрахували асиметрію і ексцес для вибірок X та Y .

Асиметрія оцінює видовженість однієї із віток кривої теоретичного розподілу відносно математичного сподівання. Ексцес оцінює „крутизну” кривої теоретичного розподілу відносно нормальної.

Для вибірки Х : (a_sX > 0) спостерігається плавніший “спуск” полігону частот зправа; і (e_kX < 0) має плоскішу вершину порівняно з нормальною кривою.

Для вибірки Y : (a_sY > 0) спостерігається плавніший “спуск” полігону частот зправа; і (e_kY < 0) має плоскішу вершину порівняно з нормальною кривою.