7. Перевірити гіпотезу про рівність нулю математичних сподівань генеральних сукупностей х і у.

За умовою завдання на розрахунково-графічну роботу при якісній роботі досліджуваних систем відхилення вихідного параметра від заданого значення повинне дорівнювати нулю. Тому логічно припустити, що якщо система після дії випадкових факторів повертається у нормальний стан керування, то середнє значення відхилення повинне дорівнювати нулю, інакше матиме місце систематична похибка керування, яка не залежить від дії випадкових факторів, а визначається властивостями системи.

Таким чином, якщо генеральна сукупність розподілена нормально, причому генеральне середнє а невідоме, але є підстави вважати, що воно дорівнює нулю, тобто а = 0,необхідно перевірити гіпотезу пpo рівність нулю генерального середнього. Якщо ця гіпотеза буде прийнята, то будуть підстави для висновку, що система працює без систематичних похибок керування.

Оскільки дисперсія генеральної сукупності невідома, то в якості критерію перевірки нульової гіпотези приймемо випадкову величину:

де S - „виправлене" середнє квадратичне відхилення;

n - обсяг вибірки;

Х - середнє вибіркове.

Величина Т має розподіл Стьюдента з k = n -1 ступенями вільності.

Правило перевірки нульової гіпотези формулюється так.

Правило. Для того, щоб при заданому рівні значущості а перевірити нульову гіпотезу про рівність невідомої генеральної середньої а (нормальної сукупності з невідомою дисперсією) гіпотетичному значенню а = 0 при конкуруючій гіпотезі , потрібно обчислити спостережене значення критерію і за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента (додаток 6), за заданим рівнем значущості а (розміщеним у верхньому рядку таблиці розподілу Стьюдента) і числом ступенів вільності k = n -1 знайти двосторонню критичну:

Якщо - немає підстав відхилити нульову гіпотезу.

Якщо - нульову гіпотезу відхиляють.

Ми маємо нормально розподілену кількісну ознаку генеральної сукупності. За вибіркою n=50 знайдені в попередньому розділі вибіркове середнє :

для вибірки Х:= 0,0982

для вибірки Y:= -0,1088

і “виправлене” середнє квадратичне відхилення:

для вибірки Х : 1,1191

для вибірки Y : 0,6943

Перевіримо гіпотезу про рівність нулю математичних сподівань генеральних сукупностей Х і У при рівні значущості α = 0,05.

Розв’язання:

Обчислимо спостережене значення критерію для вибірки Х:

Обчислимо спостережене значення критерію для вибірки Y:

За умовою, конкуруюча гіпотеза має вигляд , тому критична область двостороння.

За таблицею критичних точок розподілу Стьюдента (додаток 6) за заданим рівнем значущості а=0,1, розміщеному у верхньому рядку таблиці, і за числом ступенів вільності k=50-1=49 знаходимо критичну точку

Оскільки - немає підстав відхилити гіпотезу про рівність нулю математичних сподівань генеральних сукупностей Х і У.

Висновок: Ми перевірили гіпотезу про рівність нулю математичних сподівань генеральних сукупностей Х і У при рівні значущості α = 0,1.

Обчисливши спостережене значення критерію для обох вибірок, ми дійшли висновку, що немає підстав відхилити гіпотезу про рівність нулю математичних сподівань генеральних сукупностей Х і У, оскільки