3. Дифференциальное исчисление Функции нескольких переменных
3.1. Основные понятия
Переменная
называетсяфункцией
двух
переменных
и
,
если каждой паре чисел
из некоторого множества по определенному
правилу ставится в соответствие одно
или несколько значений переменной
.
При
этом переменные
и
называются независимыми переменными
или аргументами, а
– зависимой переменной или функцией.
Функциональная зависимость обозначается:
.
Областью
определения
функции
называется множество точек
плоскости
,
в которых данная функция определена.
Частное (числовое) значение функции
при
,
,
обозначается:
.
Аналогично определяются функции от большего числа переменных:
.
Число
называетсяпределом
функции
в точке
,
если для любой последовательности точек
области определения функции, отличных
от
и сходящихся к
,
последовательность значений функции
сходится к
.
В этом случае пишут:
.
Если
,
то функция называетсянепрерывной
в точке
.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.
3.2. Частные производные
Пусть
в некоторой области задана функция двух
переменных
.
Возьмем произвольную точку
в этой области и дадим
приращение
,
оставляя значение
неизменным. При этом функция
получит приращение
.
Оно
называется частным
приращением
этой функции по
.
Предел отношения
,
если
он существует и конечен, называется
частной производной
функции
по переменной
в точке
.
Частную
производную по
от функции
обозначают символами:
;
,
;
.
Аналогично,
считая
постоянной и давая
приращение
,
получим частное приращение функции
по
:
.
Предел отношения
,
называется
частной производной функции по переменной
.
Частную
производную по
от функции
обозначают символами:
;
,
;
.
Вычисление
частных производных по
(по
)
от конкретных функций производится по
правилам известным для функции одной
переменной, т.к. частная производная
функции
рассматривается как производная функции
одной переменной
(соответственно
)
при постоянном значении другой переменной.
Пример
3.1. Для функции
найти значение частных производных в
точке
.
Решение. Частные производные функции:
;
.
;
.
3.3. Полный дифференциал
Полным
приращением
функции
называется разность:
.
Линейная
часть приращения функции
относительно
приращений аргументов
и
называется ееполным
дифференциалом
и обозначается символом
или
.
Полный
дифференциал функции
находится
по формуле:
,
где
,
.
При
достаточно малых
и
.
Пример
3.2. Дана функция
.
Используя дифференциал функции, вычислить
приближенно
.
Решение. Найдем частные производные функции
;
;
.
Примем:
и
;
и
.
Вычислим:
;
.
.
Формула для приближенного вычисления с помощью дифференциала имеет вид:
.
Тогда
.
3.4. Экстремум функции нескольких переменных
Функция
имеет в точке
максимум (минимум)
,
если вблизи этой точки для всех точек
,
отличных от
,
выполняется условие
;
.
Необходимое условие существования экстремума
Если
функция
дифференцируема в точке
и имеет в этой точке экстремум, то частные
производные в этой точке равны нулю,
т.е.
;
.
Пример 3.3. Исследовать на экстремум функцию
.
Решение. Найдем частные производные
;
.
Приравняем их к нулю и получим систему из двух уравнений:
Откуда
;
.
В
данной критической точке
функция
имеет
минимум, т.к. вблизи этой точки для любых
точек
,
отличных от
,
значение функции больше нуля.
Индивидуальные задания
Задание 1. Найти пределы.
Из предложенных ответов выбрать верный.
вариант 1
|
1)
|
а)
|
б)
|
в)
|
г) 2. |
|
2)
|
а)
|
б) –4; |
в)
|
г)
|
|
3)
|
а) 0; |
б)
|
в) 2; |
г) –2. |
|
4)
|
а) 12; |
б) 4; |
в) 3; |
г) 0. |
|
5)
|
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
;
;
.
вариант 2
|
1)
|
а)
|
б) 3; |
в) 0; |
г)
|
|
2)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г)
|
|
3)
|
а) 2; |
б)
|
в) 0; |
г) 4. |
|
4)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г) 1. |
|
5)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г)
|
;
;
.
;
;
;
.
;
;
;
;
;
;
;
;
.
вариант 3
|
1)
|
а) 0; |
б)
|
в)
|
г)
|
|
2)
|
а) 0; |
б)
|
в) 1; |
г)
|
|
3)
|
а) 0; |
б) 4; |
в) 2; |
г)
|
|
4)
|
а) 0; |
б) 8; |
в)
|
г)
|
|
5)
|
а) 0; |
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
;
;
.
;
.
;
;
.
;
;
;
.вариант 4
|
1)
|
а) 0; |
б)
|
в)
|
г)
|
|
2)
|
а) 0; |
б)
|
в) 5; |
г)
|
|
3)
|
а) 0; |
б)
|
в)
|
г) 1. |
|
4)
|
а) 0; |
б)
|
в) 14; |
г)
|
|
5)
|
а) 0; |
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
;
;
.
;
;
;
;
;
.
;
;
;
.вариант 5
|
1)
|
а) 4; |
б) 9; |
в) 0; |
г)
|
|
2)
|
а)
|
б) 14; |
в) 0; |
г)
|
|
3)
|
а) 1; |
б)
|
в) 0; |
г)
|
|
4)
|
а) 1; |
б)
|
в) 0; |
г)
|
|
5)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г)
|
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
;
.
вариант 6
|
1)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г) 4. |
|
2)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г)
|
|
3)
|
а) 5; |
б)
|
в) 0; |
г) -1. |
|
4)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г) 1. |
|
5)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г)
|
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
;
;
;
.
вариант 7
|
1)
|
а) 0; |
б) 4; |
в)
|
г) -5. |
|
2)
|
а) 0; |
б)
|
в)
|
г) -2. |
|
3)
|
а) 0; |
б) -1; |
в)
|
г) -3. |
|
4)
|
а) 0; |
б) -1; |
в)
|
г) 7. |
|
5)
|
а) 0; |
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.Вариант 8
|
1)
|
а) 0; |
б)
|
в)
|
г)
|
|
2)
|
а) 0; |
б) |
в)
|
г)
|
|
3)
|
а) 0; |
б)
|
в)
|
г)
|
|
4)
|
а) 0; |
б)
|
в)
|
г)
|
|
5)
|
а) 0; |
б)
|
в)
|
г) |
;
;
;
.
;
;
;
.
;
;
;
.
;
;
;
.
;
;
;
.
вариант 9
|
1)
|
а)
|
б) 0; |
в)
|
г) 1. |
|
2)
|
а)
|
б) 0; |
в)
|
г) |
|
3)
|
а)
|
б) 0; |
в)
|
г) |
|
4)
|
а) 1; |
б) 0; |
в)
|
г) |
|
5)
|
а)
|
б)0; |
в)
|
г) |
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
.
;
;
.
;
;
;
.
вариант 10
|
1)
|
а)
|
б) 2; |
в) 0; |
г)
|
|
2)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г) –1. |
|
3)
|
а)
|
б) 5; |
в) 0; |
г)
|
|
4)
|
а)
|
б) 1; |
в) 0; |
г)
|
|
5)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г)
|
;
;
.
;
;
;
;
;
.
;
;
.
;
;
;
.вариант 11
|
1)
|
а) 1; |
б) 0; |
в) -5; |
г)
|
|
2)
|
а)
|
б) 0; |
в) 1; |
г)
|
|
3)
|
а)
|
б) 0; |
в) 1; |
г)
|
|
4)
|
а)
|
б) 0; |
в)
|
г)
|
|
5)
|
а)
|
б) 0; |
в)
|
г)
|
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
;
.
;
;
;
.
вариант 12
|
1)
|
а)
|
б) 0; |
в)
|
г) 8. |
|
2)
|
а) 3; |
б) 0; |
в)
|
г) -3. |
|
3)
|
а) -2; |
б) 0; |
в)
|
г) -5. |
|
4)
|
а) 5; |
б) 0; |
в)
|
г) 1. |
|
5)
|
а)
|
б) 0; |
в)
|
г)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.вариант 13
|
1)
|
а) 0; |
б) 3; |
в)
|
г)
|
|
2)
|
а) 0; |
б)
|
в)
|
г)
|
|
3)
|
а) 0; |
б)
|
в)
|
г)
|
|
4)
|
а) 0; |
б)
|
в)
|
г)
|
|
5)
|
а) 0; |
б) 1; |
в)
|
г)
|
;
;
.
;
;
;
.
;
;
;
.
;
;
;
.
;
;
.вариант 14
|
1)
|
а)
|
б) 2; |
в)
|
г) 0. |
|
2)
|
а)
|
б)
|
в)
|
г) 0. |
|
3)
|
а) 10; |
б) -5; |
в)
|
г) 0. |
|
4)
|
а) -2; |
б)
|
в)
|
г) 0. |
|
5)
|
а)
|
б)
|
в)
|
г) 0. |
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;вариант 15
|
1)
|
а) 10; |
б)
|
в) -3; |
г) 0. |
|
2)
|
а)
|
б)
|
в)
|
г) 0. |
|
3)
|
а) 7; |
б)
|
в) -1; |
г) 0. |
|
4)
|
а) 3; |
б)
|
в)
|
г) 0. |
|
5)
|
а)
|
б)
|
в)
|
г) 0. |
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;вариант 16
|
1)
|
а) 5; |
б)
|
в)
|
г) 0. |
|
2)
|
а)
|
б) -2; |
в)
|
г) 0. |
|
3)
|
а) 2; |
б) -3; |
в)
|
г) 0. |
|
4)
|
а) 1; |
б)
|
в)
|
г) 0. |
|
5)
|
а)
|
б)
|
в)
|
г) 0. |
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;вариант 17
|
1)
|
а) 1; |
б)
|
в) 0; |
г) 2. |
|
2)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г)
|
|
3)
|
а) –1; |
б)
|
в) 0; |
г) 2. |
|
4)
|
а) 1; |
б)
|
в) 0; |
г) 3. |
|
5)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г) 1. |
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
;
;вариант 18
|
1)
|
а) 2; |
б)
|
в) 0; |
г)
|
|
2)
|
а) -2; |
б)
|
в) 0; |
г) 2. |
|
3)
|
а) –2; |
б)
|
в) 0; |
г) 2. |
|
4)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г)
|
|
5)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г)
|
;
;
.
;
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
.
вариант 19
|
1)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г) -9. |
|
2)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г)
|
|
3)
|
а)
|
б) -3; |
в) 0; |
г) 3. |
|
4)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г)
|
|
5)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г)
|
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
.
;
;
;
.вариант 20
|
1)
|
а) 1; |
б)
|
в) 0; |
г)
|
|
2)
|
а) 1; |
б)
|
в) 0; |
г)
|
|
3)
|
а)
|
б) -2; |
в) 0; |
г)
|
|
4)
|
а) -5; |
б) 5; |
в) 0; |
г)
|
|
5)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г)
|
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
.
;
;
;
.
вариант 21
|
1)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г) -1. |
|
2)
|
а) -4; |
б)
|
в) 0; |
г)
|
|
3)
|
а) 1; |
б)
|
в) 0; |
г) -8. |
|
4)
|
а) 3; |
б)
|
в) 0; |
г) 1. |
|
5)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г)
|
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
;
;
.вариант 22
|
1)
|
а) 0; |
б) -5; |
в)
|
г)
|
|
2)
|
а) 0; |
б) -2; |
в)
|
г)
|
|
3)
|
а) 0; |
б) 3; |
в)
|
г)
|
|
4)
|
а) 0; |
б) 4; |
в)
|
г) -4. |
|
5)
|
а) 0; |
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
;
;
;
.вариант 23
|
1)
|
а) 5; |
б)
|
в) 0; |
г)
|
|
2)
|
а)
|
б) -3; |
в) 0; |
г)
|
|
3)
|
а) -1; |
б) 3,5; |
в) 0; |
г)
|
|
4)
|
а) 10; |
б)
|
в) 0; |
г)
|
|
5)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г)
|
;
;
.
;
;
.
;
.
;
;
.
;
;
;
.
вариант 24
|
1)
|
а)
|
б)
|
в)
|
г) 0. |
|
2)
|
а)
|
б)
|
в)
|
г) 0. |
|
3)
|
а)
|
б)
|
в)
|
г) 0. |
|
4)
|
а)
|
б) -1; |
в) 1; |
г) 0. |
|
5)
|
а)
|
б)
|
в)
|
г) 0. |
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;вариант 25
|
1)
|
а)
|
б) -1; |
в)
|
г) 0. |
|
2)
|
а)
|
б)
|
в)
|
г) 0. |
|
3)
|
а) 1; |
б) -1; |
в)
|
г) 0. |
|
4)
|
а) 2; |
б) 1; |
в)
|
г) 0. |
|
5)
|
а)
|
б)
|
в)
|
г) 0. |
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
вариант 26
|
1)
|
а) 2; |
б) 0; |
в)
|
г)
|
|
2)
|
а) -1; |
б) 0; |
в)
|
г)
|
|
3)
|
а) -2; |
б) 0; |
в) 4; |
г)
|
|
4)
|
а)
|
б) 0; |
в)
|
г)
|
|
5)
|
а) 1; |
б) 0; |
в)
|
г)
|
;
;
.
;
;
.
;
.
;
;
;
.
;
;
.
вариант 27
|
1)
|
а)
|
б) 0; |
в) 8; |
г) 1. |
|
2)
|
а)
|
б) 0; |
в)
|
г) 1. |
|
3)
|
а)
|
б) 0; |
в)
|
г)
|
|
4)
|
а)
|
б) 0; |
в) 2,5; |
г) 1. |
|
5)
|
а)
|
б) 0; |
в)
|
г)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
.вариант 28
|
1)
|
а)
|
б) 6; |
в) 0; |
г) 8. |
|
2)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г)
|
|
3)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г) -1. |
|
4)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г)
|
|
5)
|
а)
|
б)
|
в) 0; |
г)
|
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
.вариант 29
|
1)
|
а) 2; |
б) 0; |
в)
|
г) -7. |
|
2)
|
а) 1; |
б) 0; |
в)
|
г)
|
|
3)
|
а) 1; |
б) 0; |
в)
|
г) 2. |
|
4)
|
а)
|
б) 0; |
в)
|
г)
|
|
5)
|
а)
|
б) 0; |
в)
|
г)
|
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
.
;
;
;
.
вариант 30
|
1)
|
а) 0; |
б)
|
в)
|
г) -7. |
|
2)
|
а) 0; |
б)
|
в)
|
г)
|
|
3)
|
а) 0; |
б)
|
в)
|
г)
|
|
4)
|
а) 0; |
б) 18; |
в)
|
г) 3. |
|
5)
|
а) 0; |
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
.
;
;
;
;
;
.
Задание 2. Исследовать функцию на непрерывность.
вариант 1
1)
;
-
Ответы:
а)
функция непрерывна для всех
;б)
функция имеет разрыв I рода при
;в)
функция имеет разрыв II рода при
;г)
функция имеет разрыв I рода при
2)
;
-
Ответы:
а)
функция непрерывна для всех
;б)
функция имеет разрыв I рода при
и
в)
функция имеет разрыв II рода при
и
;г)
функция имеет разрыв II рода при
;