2.6.3. Наименьшее и наибольшее значение функции

На практике часто встречаются задачи, в которых требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции на некотором промежутке.

Для отыскания наименьшего и наибольшего значений функции, надо вычислить значения функции на концах промежутка и во всех ее критических точках. Наибольшее и наименьшее из полученных значений является соответственно наибольшим и наименьшим значениям функции на рассматриваемом промежутке.

Пример 2.11. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Решение. Найдем производную

.

Найдем критические точки

;

–критические точки.

Вычислим значения в критических точках и на концах

; ;

; .

Таким образом, наименьшее значение функции равно – 35 и достигается на конце отрезка в точке , а наибольшее – равно 17 и достигается внутри отрезка в точке.

При составлении задач на вычисление наибольших и наименьших значений, необходимо определить, для какого конкретного показателя надо найти наибольшее и наименьшее значение. Этот показатель будет участвовать в формировании исследуемой функцией.

Пример 2.12. Определить максимальную площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна .

Решение. Обозначим высоту треугольника через(рис. 2.1). Тогда. А площадь треугольника равна

.

l

x

Рисунок 2.1. – Равнобедренный треугольник

Вычислим наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке . Найдем.

;

Определим критические точки

при .

Точка – не принадлежит отрезку. В точках:и–.

Исследуем знак производной слева и справа от точки.

.