2.2. Таблица производных

;	;	;	;
;	;	;	;
;	;	;	;
;	;	;	;
;	;	;	;
;	;	;	;
;	;	;	;
;	;	;	;
;	;	;	.

2.3. Основные правила дифференцирования

1. Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.е.

.

2. Производная произведения равна сумме произведений производной одного из множителей на остальные, т.е.

.

3. Производная частного:

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е.

.

5. Пусть , а, т.о.. Тогда производная сложной функции по независимой переменной равна произведению производной этой функции по промежуточной переменной на производную промежуточной переменной по независимой переменной, т.е.

.

Пример 2.1. Найти производную функции

Решение. Полагая ,;; получим

При достаточном количестве упражнений необходимость в записи промежуточных переменных отпадает.

Если функция задана неявно, т.е. уравнением, не разрешенным относительно (), то для нахождения производнойнадо продифференцировать пообе части этого уравнения, учитывая, чтоесть функция от, и затем разрешить полученное уравнение относительно.

Пример 2.2. Найти производную функции .

Решение. Дифференцируем по обе части данного равенства и считаемфункцией от, находим

.

Из полученного равенства находим .

;

;

.

Логарифмическая производная функции есть производная от логарифма данной функции:

.

Вычисление логарифмической производной называется логарифмическим дифференцированием.

Логарифмическое дифференцирование применяется при вычислении производной степенно-показательной функции, т.е. функции вида , а также при нахождении производной произведения нескольких функций или производной дроби.

Пример 2.3. Найти производную функции .

Решение. Функция – степенно-показательная.

Прежде чем дифференцировать, прологарифмируем данную функцию:

;

.

Дифференцируем как неявно заданную функцию:

Из полученного равенства выразим :

Вместо подставим:

.

Пример 2.4. Найти производную функции .

Решение. Прологарифмируем данную функцию

;

.

Дифференцируем:

.

2.4. Дифференциал функции

Дифференциалом функцииназывается главная линейная относительночасть ее приращения.

Дифференциал независимой переменнойравен ее приращению:

. (2.4.1)

Дифференциал любой дифференцируемой функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной:

. (2.4.2)

Основные правила нахождения дифференциалов аналогичны основным правилам вычисления производных:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Если достаточно мало, то имеет место приближенное равенство:

,

которое используется при применении дифференциала к приближенным вычислениям.

(2.4.3)

Пример 2.5. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию и положим,.

Воспользовавшись формулой (2.4.3), найдем .

.

.

.

Таким образом, , т.е..