Лекция 4. Метод Ньютона

Если f (x),

f ' (x) и f '' (x) непрерывны в окрестности корня, эту допол-

нительную информацию о свойствах функции

f (x)

можно использовать для

построения алгоритмов, которые порождают последовательности, сходящиеся к

корню быстрее, чем при методе деления пополам или методе ложного положе-

ния. Метод Ньютона-Рафсона (или просто Ньютона, также имеет названия

метод касательных и метод линеаризации) является одним из наиболее по-

лезных и самых известных алгоритмов, в котором используется непрерывность

f ' (x) и f '' (x). Он быстро сходится (имеет квадратичную сходимость) и до-

пускает различные модификации, приспособленные для решения векторных за-

дач и других уравнений. Однако, этот метод эффективен при весьма жестких

ограничениях на характер функции

f (x):

f (x)

1. существование

второй

производной

функции

на

множестве

G ={a ≤ x ≤ b};

f ' (x)≠ 0 для всех x G ;

2. удовлетворение первой производной условию

3. знакопостоянство f ' (x),

f '' (x)

для всех x G .

Геометрическая интерпретация метода Ньютона состоит в следующем. За-

дается начальное приближение x(0) . Далее проводится касательная к кривой

y = f (x) в точке x(0) (рис. 4.1), т.е. кривая заменяется прямой линией. В каче-

стве следующего приближения выбирается точка пересечения этой касательной

с осью абсцисс. Процесс построения касательных и нахождения точек пересе-

чения с осью абсцисс повторяется до тех пор, пока приращение не станет

меньше заданной величины ε .

f (x(0) )

В

a

C

A

α

b

0

x*

x(2)

x(1)

x(0)

Рис. 4.1

Геометрические построения для метода Ньютона

f (x(0) )− 0

= f ' (x

(0)

)≡ tgα

(4.1)

x

(0)

− x

(1)

где α - угол наклона касательной в точке (x(0) , f (x(0) )) к оси абсцисс.

Разрешая это соотношение относительно

x(1), получаем:

x

(1)

= x

(0)

−

f (x(0) )

(4.2)

f ' (x(0) )

Повторяя процесс, находим общую формулу:

x

(k

+1)

= x

(k )

−

f (x(k )

)

, где k = 0,1,2,...

(4.3)

f ' (x(k ) )

x = x −

f (x)

≡ϕ(x)

(4.4)

f ' (x)

x(k+1) = x(k ) +δ (k ) , где k = 0,1,2,...

(4.5)

где δ (k )

- поправка к k -му приближению, которую необходимо найти. Предпо-

лагая,

что

f (x) имеет непрерывную вторую

производную,

разложим

f (x(k ) +δ (k ) )

по формуле Тейлора относительно точки x(k ) :

f (x(k ) +δ (k ) )= f (x(k ) )+δ (k ) f ' (x(k ) )+

(δ (k ) )2 f "(ξ )

(4.6)

где ξ (x(k ) , x(k+1) ). Учитывая, что f (x(k ) +δ (k ) )

2

= 0

(это соответствует нахо-

f (x(k ) )+δ (k ) f ' (x(k ) )= 0

(4.7)

(k )

= −

f (x(k ) )

δ

(k )

Отсюда выражается поправка δ

. Подставляя

в (4.5),

f ' (x(k ) )

(0)

x

a, если f (a) f "(a)> 0

=

f (a)

(4.8)

b, если

f "(a)< 0

Пусть выполняются следующие условия:

[a,b].

1.

Функция f (x) определена и дважды дифференцируема на участке

2.

Отрезку [a,b]

принадлежит

только

один

простой корень

x* ,

так что

f (a) f (b)< 0 .

3.

Производные f ' (x), f "(x) на [a,b]

сохраняют знак, и f ' (x)≠ 0 .

4.

Начальное

приближение

x(0)

удовлетворяет

неравенству

f (x(0) ) f "(x(0) )> 0 (знаки функций f (x)

и f "(x) в точке

x(0)

совпада-

1. Задать начальное

приближение

x(0)

так, чтобы выполнялось неравенство

f (x(0) ) f "(x(0) )

> 0 , а также

малое

положительное число ε . Положить