Тема 2. Методы решения нелинейных уравнений1

Лекция 3. Метод половинного деления

Приближенное решение нелинейных уравнений

Для достаточно сложных алгебраических и трансцендентных уравнений не всегда можно найти точное решение, поэтому очень часто приходится применять приближенные (численные) методы нахождения корней таких уравнений.

Пусть дано нелинейное уравнение

Где f (x) – функция определённая и непрерывная на некотором (даже бесконечном) интервале a < x < b. В некоторых случаях на функцию f (x) могут

быть наложены дополнительные ограничения, например, непрерывность первой и второй производных, что специально оговаривается.

Требуется найти корни уравнения (3.1). Т.е. Числа x*1 , x*2 ,..., которые путем подстановки их в (3.1) превращают уравнение в верное числовое равенство. Числа x*1 , x*2 ,... также называются нулями функции f (x).

Определение 1 корнем уравнения (3.1) называется значение x = x* , обращающее функцию f (x) в ноль, т.е. f (x* )≡ 0 .

Определение 2 изолированный корень – это значение x , удовлетворяющее (3.1) и не содержащее других корней в своей окрестности.

Условие существования корня уравнения (3.1) следует из теоремы:

Если непрерывная функция f (x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a,b], т.е. f (a) f (b)< 0 , то внутри этого отрезка содержится, по крайней мере, один корень уравнения f (x)= 0 . Значит, найдется хотя бы одно число x* (a,b) такое, что f (x* )= 0 . Если же f (x) непрерывна и дифференцируема и ее первая производная сохраняет знак внутри отрезка

[a,b], то на данном отрезке находится только один (изолированный) корень

x= x* уравнения.

Таким образом, при нахождении корней уравнения (3.1) численным методом, кроме непрерывности f (x) предполагается:

1.Функция принимает на концах отрезка разные знаки;

2.Производные f ' (x) и f "(x) непрерывны на отрезке;

3.Производные на отрезке не меняют знака.

Геометрически последнее условие означает, что предполагается одна из четырех схем (рис. 3.1).

1 В приложении 2 рассмотрены способы решения уравнений с помощью итерационных методов

23

После этого необходимо убедится в том, что в каждом интервале находится только один корень. В противном случае изменять интервал.

Замечание 1: если известны корни уравнения f ' (x)= 0 , то процесс отделения корней можно упростить. Для этого достаточно определить знаки функции f (x) в точках нулей ее производной f ' (x)= 0 и граничных точках определения функции x = a и x = b .

Замечание 2: действительные корни уравнения f (x)= 0 можно отделить приближенно, как точки пересечения графиком y = f (x) оси абсцисс.

Этот метод удобен своей наглядностью, но при вычислениях вручную им не всегда можно воспользоваться, поскольку:

1. f (x) представляет собой функцию, график которой построить сложно (например, y = ex + sin x ).

2.Ограниченность размеров чертежа позволяет найти корни только в некотором ограниченном промежутке.

Первый недостаток можно устранить, если удается записать исходное

уравнение f (x)= 0 в виде ϕ(x)= g(x), при котором y =ϕ(x) и y = g(x) построить значительно проще. Тогда корни уравнения находятся как абсциссы точек пересечения графиков y =ϕ(x) и y = g(x).

Пример 1. Отделить корни уравнения: x ln x = 1

Решение. Запишем это уравнение в виде ln x = 1x . Построим графики и определим точку их пересечения (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Решение уравнения x ln x = 1.

Достоинством графического метода (кроме его наглядности) является то, что часто он дает возможность оценить количество корней и их знаки.

Перейдем ко второму этапу численного решения уравнений – уточнению корней до нужной точности. На этом этапе применяют несколько методов.

25

Метод половинного деления Иначе этот метод называют метод Больцано деления пополам или метод

Отрезок [a,b], в данном случае, называется начальным интервалом не-

определенности, потому что известно, что корень ему принадлежит, но его местоположение с требуемой точностью не определено.

Основная идея метода бисекций: делим отрезок изоляции пополам и выбираем ту половину, где функция меняет знак, получаем новый отрезок изоляции, длина которого в два раза меньше предыдущего. Эту процедуру повторяем до тех пор, пока длина отрезка изоляции не станет меньше заданной точности. Рассмотрим это более подробно.

Отрезок a1 ;b1 снова делим пополам и выбираем новый отрезок a2 ;b2 аналогично. Строим последовательность отрезков an ;bn , каждый из которых вдвое меньше предыдущего, т.о. Получим последовательность вложенных друг в друга промежутков ai ;bi таких, что f (ai ) f (bi )< 0 (i = 1,2,3,...,n).

Этот процесс последовательного деления пополам продолжаем до тех пор, пока не выполнится одно из двух условий:

1.Либо найдется такая точка cn = an +2 bn , в которой f (cn )= 0 и cn – точное значение корня (на практике получается достаточно редко).

2.Либо на некотором шаге получим отрезок изоляции an ;bn , длина которого меньше требуемой точности:

Левые концы отрезков образуют монотонную неубывающую последовательность an , а правые – bn , образуют монотонную невозрастающую последо-

26

вательность. Следовательно, эти последовательности имеют один и тот же предел x* :

x* = lim an = lim bn

n→∞ n→∞

Подставляя x* в (3.2) перейдем к пределу. Получим

lim f (an ) f (bn )= f (x* ) f (x* )< 0 .

n→∞

Это противоречие, значит f (x* )= 0 .

Так как корень принадлежит отрезку изоляции an ;bn . То в этом случае,

любое число из этого отрезка отличается от точного значения корня меньше, чем на ε . Числа an и bn являются приближенными значениями искомого корня

с недостатком и избытком соответственно. Обычно берут в качестве ответа число из середины последнего отрезка изоляции:

Можно заранее оценить количество делений пополам исходного отрезка. Так как каждый раз длина отрезка уменьшается в два раза, то по достижении

Из этой формулы можно оценить количество шагов. Кроме того, из нее видно, что для того, чтобы улучшить точность в k раз, т.е. Положив ε* = εk ,

необходимо сделать дополнительно n1 > lglg k2 шагов.

Основным достоинством метода бисекций является надежность, устойчивость к ошибкам округления, отсутствие ограничений на вид функции f (x)

(требуется только непрерывность). Главный недостаток – медленная сходимость к точному решению.

На практике метод бисекций используют в комбинации с каким-либо быстросходящимся методом: методом бисекций вначале грубо определяют начальное приближение, азатемприменяютбыстросходящийсяметод(например, методНьютона).

Пример реализации метода половинного деления в среде Microsoft Excel представлена на рис. 3.3.

27