Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
КЛ по ВТиП-часть2.pdf
Скачиваний:
157
Добавлен:
21.02.2016
Размер:
3.35 Mб
Скачать

Лекция 6. Метод Симпсона

Геометрически формула Симпсона получается в результате замены подынтегральной функции y = f (x) параболой y = L2 (x), проходящей через три

точки M0 (x0 , y0 ), M1 (x1 , y1 ) и M2 (x2 , y2 ) (рис. 6.1).

M2 (x2 , y2 )

L2 (x)

M1 (x1 , y1 )

f (x)

M0 (x0 , y0 )

Рис. 6.1 Геометрические построения для метода Симпсона

Формула Симпсона

Из вида остаточного члена (5.15) следует, что результат, полученный по формуле трапеций, можно уточнять методом Рунге. Проводя такое уточнение для отрезка, содержащего узлы x0 , x1 , x2 , получим формулу Симпсона.

F 13 4 Fтрап (h)Fтрап (2 h) =

 

1

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

=

 

4

h

 

f0

+

f1

+

 

f2

 

2 h

 

f0

+

 

f

2

 

=

(6.1)

3

2

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

h

( f0 + 4 f1 +

f2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где h = xi

xi1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остаточный член формулы Симпсона

Таким образом, остаточный член формулы Симпсона равен:

x

ydx h

 

 

R = 2

(y0 + 4 y1 + y2 ), где y = f (x)

(6.2)

x0

3

 

 

 

 

 

Предполагаем, что функция y C(4) [a,b], получим более простое выражение и для формулы Симпсона. Фиксируем среднюю точку x1 и рассматривая R = R(h), будем иметь:

43

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 +h

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

= ydx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

y(x1 h)+ 4 y(x1 )+ y

(x1 + h)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R = R(h) по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда,

 

дифференцируя функцию

 

h последовательно три

раза, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

(h)= y(x1 + h)

+ y(x1 h)

 

3

y(x1 h)+ 4 y(x1 )

+ y(x1 + h)

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x1

 

(x1

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(x1 )

(6.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

y

 

h)+ y

+ h)

3

 

 

y

(x1 + h)+ y(x1 h)

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

(x1

 

(x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

y

 

h)+ y

+ h)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

(h)=

 

 

 

 

 

 

(x1 h)+

 

 

 

(x1 + h)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

3

 

y

 

y

 

3

 

 

y

(x1 h)+ y

 

(x1 + h)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

′′

(x1 h)+ y

′′

(x1

+ h)

 

=

1

 

 

 

 

 

(x1 h)+

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

y

 

 

 

 

 

3

 

y

y

(x1 + h)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

′′

(x1 h)+ y

′′

(x1

+ h)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′′

 

 

 

 

 

 

′′

(x1

h)+ y

′′

(x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

(x1

h)+ y

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(h)=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

3

 

y

 

 

 

 

 

 

+ h)

3

 

 

y

 

 

(x1 + h)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

′′′

(x1 h)+ y

′′′

(x1

+ h)

 

= −

 

h

 

 

 

′′′

(x1 h)+ y

′′′

(x1

 

+ h)

 

=

(6.6)

 

 

 

3

y

 

 

 

 

 

 

 

3

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

h2 yIV (ξ3 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где ξ3 (x1 h, x1 + h).

 

R(0)= 0 ;

 

R(0)= 0 ;

 

R′′(0)= 0 . Последовательно ин-

 

 

 

Кроме того, имеем

 

 

 

тегрируя R′′′(h)

и используя теорему о среднем, находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R′′(h)= R′′(0)+ h R′′′(t )dt = −

2

 

h t 2 yIV (ξ3 )dt = −

 

2

yIV (ξ2 )h t2dt = −

2

h2 yIV (ξ2 )

(6.7)

3

 

3

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где ξ2 (x1 h, x1 + h).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R(h)= R(0)+ h R′′(t )dt = −

 

2

 

h t3 yIV (ξ2 )dt = −

 

2

yIV (ξ1 )h t 3dt = −

 

1

 

h4 yIV (ξ1 )

(6.8)

9

 

9

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где ξ1 (x1 h, x1 + h).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R(h)= R(0)+ h R(t )dt = −

 

1

 

h t4 yIV (ξ1 )dt = −

1

 

 

yIV (ξ )h t4dt = −

 

1

 

h5 yIV (ξ )

(6.9)

18

 

18

 

90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где ξ (x1 h, x1 + h).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, остаточный член формулы Симпсона равен:

R = −

h5

yIV (ξ ), где ξ (x0 , x2 )

(6.10)

 

90

 

 

44

Т.о. формула Симпсона более точная, чем формула трапеций.

Общая (обобщенная) формула Симпсона

 

 

 

Пусть n = 2 m

есть четное число и yi

= f (xi )

(i = 0,1,2,...,n) значения

функции

 

y = f (x)

для равноотстоящих точек

a = x0 < x1 < x2 < ...< xn = b

 

с

шагом h = b a = b a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

2 m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяя формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку x

0

, x

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

, x

 

... x

2 m

2

,x

 

длины 2 h получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

2 m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

ydx h

 

(y0 + 4 y1 + y2 )+ h

(y2 + 4 y3 + y4 )+

...+ h

(y2 m2 + 4 y2 m1 + y2 m )

a

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

b

 

 

Отсюда получаем общую (обобщенную) формулу Симпсона:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ydx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.11)

3

(y0

+ y2 m )+ 4 (y1 + y3 + ...+ y2 m1 )+ 2 (y2 + y4 + ...+ y2 m2 )

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Или:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

h

 

 

 

 

2 m1

 

2 m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ydx

 

 

+ y2 m )+ 4 yi нечёт.

+ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

(y0

yi чёт.

 

(6.12)

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

i=2

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

2 m1

 

 

 

1,

при i нечёт.

 

 

 

 

 

ydx

 

 

 

 

+ y2 m )+ (3

, где

C =

(6.13)

 

 

 

(y0

+ Ci ) yi

 

 

при i чёт.

 

 

a

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

1,

 

 

 

 

 

Остаточный член общей формулы Симпсона равен сумме остаточных членов на каждом из m участков. Если ввести среднее значение четвертой произ-

водной yc IV (ξ ), то:

 

 

 

R = −

h5

yc IV (ξ )= −(b a)

h4

yc IV (ξ )

 

180

90

 

 

Чаще эту формулу не применяют, а выполняют просчет с шагом Получаем:

(6.14)

h и 2 h .

R = −(b a)

h4

 

yIV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

180

 

 

 

R2h

= 16

 

 

 

 

(6.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2

h)4

 

 

 

 

 

 

R

= −(b a)

 

yIV

 

Rh

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2h

 

 

 

 

180

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I = Ih + Rh

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ih + Rh = I

2h + 16 Rh Rh =

I

h

I

2h

(6.16)

 

 

 

 

I =

 

 

15

 

I2h + R2h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула (6.16) – проверка погрешности по Рунге. Пример расчета представлен на рис. 6.2

45

Рис. 6.2

Пример расчета по методу Симпсона в

Microsoft Excel

46

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.