Ошибка деления на нуль.
Очевидной ловушкой в методе Ньютона является возможность деления на нуль в формуле (4.3), которая возникает, если f ' (x(k ) )= 0 . Вполне вероятно,
что f (x(k ) ) достаточно близко к нулю и x(k ) приемлемое приближение к корню. Рассмотрим данную ситуацию и определим скорость сходимости итерации.
Определение (порядок корня): Предположим, что функция |
f (x) и ее |
|||||||||||
производные f ' (x),..., f (M ) (x) |
определены и непрерывны на интервале в ок- |
|||||||||||
рестности точки x = x* . Говорят, что |
f (x)= 0 имеет корень порядка М в точке |
|||||||||||
x = x* тогда и только тогда, когда |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
f (x* )= 0 , |
f ' (x* )= 0 , …, |
f (M −1) (x* )= 0 , f (M ) (x* )≠ 0 |
(4.9) |
|||||||
Корень порядка |
M = 1 часто называют простым корнем, |
а если M > 1 , |
||||||||||
его называют кратным корнем. Корень порядка M = 2 иногда называют двой- |
||||||||||||
ным корнем и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Лемма1: Если уравнение f (x)= 0 имеет корень порядка М при x = x , то |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
существует такая непрерывная функция h(x), |
что |
f (x) можно представить в |
||||||||||
виде произведения: |
|
f (x)= (x − x* )M h(x), где h(x* )≠ 0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
(4.10) |
|||||||
Пример 2: Функция f (x)= x3 − 3 x + 2 имеет простой корень в x = −2 и |
||||||||||||
двойной |
в |
x* = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
Это |
можно |
проверить, |
рассмотрев |
производные |
||||||||
f ' (x)= 3 x2 − 3 и |
f "(x)= 6 x . При значении x |
= −2 получим |
f (−2)= 0 и |
|||||||||
f ' (−2)= 9 , так, что |
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
||
M = 1 в соответствии с (4.9), поэтому x* = −2 – простой |
||||||||||||
корень. Для значения |
x* = 1 получаем, что f (1)= 0 , |
f ' (1)= 0 |
и |
f "(1)= 6 , |
||||||||
так что M = 2 в определении (4.9), поэтому x* |
= 1 – двойной корень. Заметим |
|||||||||||
также, |
что |
разложение |
на |
множители |
функции |
f (x) |
|
имеет вид |
||||
f (x)= (x + 2) (x − 1)2 .
Скорость сходимости.
Рассмотрим следующие свойства сходимости. Если x* - простой корень уравнения f (x)= 0 , то метод Ньютона сходится быстро и количество десятич-
ных знаков точности приблизительно удваивается с каждой итерацией. С другой стороны, если x* является кратным корнем, то ошибка в каждом после-
дующем приближении равна части предыдущей ошибки. Отметим, что метод Ньютона характеризуется вторым порядком сходимости вблизи корня и первым порядком – вдали от него.
1 Вспомогательное предложение, употребляемое при доказательстве одной или нескольких теорем.
33
Модификации метода Ньютона.
Метод касательных, являясь весьма эффективным средством численного анализа, к сожалению, имеет достаточно жесткие ограничения. Действительно, он не может применяться для сеточных уравнений; при нарушении знакопостоянства производных (рис. 4.3); при существовании неограниченных вторых производных и др. Так, если даже условие знакопостоянства нарушено вдали от
корня, где выбрано x(0) , а вблизи корня выполняется, то все равно метод касательных неприменим (рис. 4.3), если не произвести сужение начального отрезка.
y
y = f (x)
x(2) |
x*1 |
0 |
x*2 |
x(1) |
x(0) x |
Рис. 4.3 Пример неприменимости метода касательных
Помимо этого, в случае, если функция f (x) достаточно сложная, то будет
сложной и ее производная, и поэтому на каждой итерации приходится рассчитывать две функции, что снижает эффективность метода касательных.
В силу этого в ряде случаев могут оказаться более предпочтительными модификации метода касательных. Рассмотрим основные из них:
Упрощенный метод Ньютона
Методика его применения совпадает с изложенной для метода Ньютона, но
вместо формулы (4.3) используется формула: |
|
||||||
x |
(k+1) |
= x |
(k ) |
|
f (x(k ) ) |
|
|
|
|
− |
|
, где k = 0,1,... |
(4.11) |
||
|
|
f ' (x(0) ) |
|||||
Отличие от метода Ньютона состоит в том, что производная функции f (x) подсчитывается только в точке начального приближения, а на после-
дующих итерациях не уточняется. Процесс последовательных приближений отражен на рис. 4.4. Первая итерация совпадает с первой итерацией метода Ньютона. На последующих итерациях соответствующие отрезки параллельны касательной, проведенной в начальной точке.
Для этой модификации снимаются некоторые ограничения метода касательных, например условие знакопостоянства производных. Сходимость упрощенного метода Ньютона линейная.
34
y
y = f (x)
0 |
x* |
x(2) x(1) |
x(0) |
x |
Рис. 4.4 Геометрические построения для упрощенного метода Ньютона
Метод Ньютона-Бройдена
Этот метод позволяет увеличить скорость сходимости последовательных
приближений благодаря использованию формулы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
(k+1) |
= x |
(k ) |
− ck |
|
|
f (x(k ) ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где k = 0,1,2,... |
|
(4.12) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ' (x(k ) ) |
|
|
|||||||||||||||||
где ck - число, |
которое выбирается на каждой итерации так, чтобы уменьшить |
|||||||||||||||||||||||||||||||
значение |
|
|
|
f (x(k+1) ) |
|
по сравнению с |
|
|
f (x(k ) ) |
|
. При ck |
= 1 |
метод Ньютона- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Бройдена совпадает с методом Ньютона. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Как |
правило, |
|
при |
плохой сходимости |
|
или ее отсутствии |
полагают |
||||||||||||||||||||||||
0 < ck < 1 |
(рис. 4.5,а), а при хорошей сходимости для ck |
= 1 полагают ck |
> 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
(это ускоряет сходимость (рис. 4.5, б)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x(0) ) |
|||||||||||||||||
a ) |
|
y |
|
|
|
0 < ck < 1 |
|
|
|
|
|
|
|
б ) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x |
(0) |
) |
|
|
|
|
ck > 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x(1) |
|
|
|
x* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x* |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(1) |
|
x(0) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
x |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
x |
(1) |
|
|
|
δ (0) |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ (0) |
c δ (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c0δ |
(0) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x(1) ) > f (x(0) )
Рис. 4.5 Геометрические построения для метода Ньютона-Бройдена
35
|
|
На рис 4.5 прямоугольниками отмечены точки x(1), полученные при c |
= 1 , |
||||||||||
|
|
|
f (x(k ) ) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
δ |
(k ) |
= |
k |
= 0,1,... - |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
, |
поправка, соответствующая методу Ньютона, а |
||||||||||
|
f ' (x(k ) ) |
||||||||||||
точки x(1) = x(0) |
− c δ (0) получены по методу Ньютона-Бройдена. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Метод секущих |
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
В этом методе производная функции |
подсчитывается с помощью |
||||||||||
конечно-разностных соотношений: |
|
|
f (x(0) )− f (x(0) −δ ) |
|
|
||||||||
- |
|
в точке x(0) |
используется формула |
f ' (x(0) )= |
, |
где |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
δ |
– малая положительная величина; |
|
|
δ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
- |
|
в |
точках |
x(k ) , |
k = 0,1,... |
используется |
формула |
||||||
f ' (x(k ) )= f (x(k ) )− f (x(k−1) ).
Вычисленное значение f ' (x(k ) ) определяет тангенс угла наклона секущей
(рис. 4.6).
y
|
|
x* |
|
|
x(0) |
|
|
0 |
x |
(2) |
x |
(1) |
x |
|
|
|
δ |
|
||
|
|
y = f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.6 |
|
Геометрические построения для метода секущих |
|
|||
Методика применения метода секущих совпадает с методикой применения метода Ньютона, но вместо (4.3) используется формула:
x(k+1) = x(k ) − f (x(k )f)(−x(fk )()x(k−1) ) (x(k ) − x(k−1) ), k = 1,2,... (4.13)
36
Замечания:
1.Метод секущих является более экономичным по сравнению с методом Нью-
тона по количеству функций, подлежащих расчету: на каждой итерации в методе секущих необходимо рассчитать только значение f (x(k ) ), так как вели-
чина f (x(k−1) ) уже подсчитана на предыдущей итерации.
2.Для всех описанных модификаций скорость сходимости p по сравнению с методом касательных снижается: p < 2 . Однако для некоторых из них (метод секущих) значение p > 1 и может достигать p = 1,5 .
37