Лекция 2. Итерационные методы

При большом числе неизвестных линейной системы схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В этом случае целесообразнее использовать приближенные (итерационные) численные методы решения систем линейных уравнений. Рассмотрим два из таких методов – метод итераций и метод Зейделя.

Метод итераций

решим первое уравнение системы (2.1) относительно x1 , второе – относительно x2 и т.д. Получим эквивалентную систему:

x(0) = β (β1 ,β2 ,...,βn ). Новое приближение получим, подставляя значения x(0) в систему (11.2). Запишем формулы приближений в развернутом виде:

дом итераций.

Процесс итерации хорошо сходится, т.е. число приближений, необходимых для получения корней системы (2.1) с заданной точностью невелико, если элементы матрицы α малы по абсолютной величине. Иными словами, для ус-

16

пешного применения процесса итерации модули диагональных коэффициентов системы должны быть велики по сравнению с модулями недиагональных коэффициентов этой системы (свободные члены при этом роли не играют).

Пример 1. Решить систему методом итераций:

над остальными коэффициентами при неизвестных. Приведем эту систему к нормальному виду (2.2):

Подставляя эти значения в правые части уравнений (2.5), получим первые приближения корней:

x1(1) = 2 − 0,06 3 + 0,02 5 = 1,92x2(1) = 3 − 0,03 2 + 0,05 5 = 3,19x3(1) = 5 − 0,01 2 + 0,02 3 = 5,04

Далее, подставляя эти найденные приближения в формулу (2.5) получим вторые приближения корней:

Далее выполняем третью подстановку и т.д. Результаты вычислений приведены в таблице 2.1

Таблица 2.1 Вычисление решения системы линейных уравнений методом итераций

Замечание: При применении метода итераций нет необходимости за нулевое приближение принимать столбец свободных членов. Метод итерации обладает тем свойством, что если он сходится, то сходится при любом начальном приближении. Причем, сходящийся процесс итерации обладает важным свой-

ством самоисправляемости (самокоррекции), т.е. отдельная ошибка в вычис-

17

лениях не отразится на конечном результате, т.к. ошибочное приближение можно рассматривать как новый начальный вектор и процесс как бы начинается снова.

Замечания о точности расчета

Если все коэффициенты и свободные члены системы являются точными числами, то решение ее методом последовательных приближений может быть получено с любым заранее заданным числом m верных десятичных знаков. При этом в значениях последовательных приближений следует удерживать m + 1 десятичных знаков и последовательные приближения вычислять до их совпадения, после чего нужно округлять результат на один знак. Если коэффициенты и свободные члены системы являются приближенными числами, написанными с p знаками, то решение этой системы производится, как в случае

точных чисел, с точностью до m = p знаков.

Достаточное условие

Теорема. Если для приведенной системы (2.2) выполнено хотя бы одно из условий:

то процесс итерации сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения.

Следствие. Для системы (2.1) метод итераций сходится, если выполнены неравенства:

т.е. если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов строки (не считая свободных членов).

Приведение линейной системы к виду удобному для итерации.

Система приводится к необходимому виду (удовлетворяющему условию теоремы) следующим образом. Из уравнений системы выбираются такие уравнения, для которых диагональные элементы этих уравнений, поставленных на соответствующее место, были бы больше суммы остальных коэффициентов. Оставшиеся уравнения (которые не удовлетворяют таким требованиям) приводятся к необходимому виду с помощью линейных преобразований. Преобразовываются линейной комбинацией так, чтобы каждое из них образовало одно из недостающих уравнений системы. Покажем данные положения на примере.

Пример 2. Привести систему к виду, годному для применения метода итераций.

18

В уравнении (Б) коэффициент при x3 по модулю больше суммы модулей

остальных коэффициентов, поэтому можно принять это уравнение за третье уравнение в преобразованной системе. Коэффициент при x1 в уравнении (Г)

также больше суммы модулей остальных коэффициентов, поэтому можно принять это уравнение за первое уравнение преобразованной системы. Таким образом, новая система имеет вид:

Анализируя данную систему, можно заметить, что для получения уравнения (II ) с максимальным по модулю коэффициентом при x2 достаточно со-

ставить разность (A)− (Б):

2 (A)− (Б)+ 2 (В)− (Г), т.е.

В итоге получим преобразованную систему уравнений, эквивалентную исходной и удовлетворяющую условиям сходимости процесса итераций. Разрешив полученную систему относительно диагональных неизвестных, получим систему

19