Зміст виконання завдання

1. Запис умов задачі за індивідуальним варіантом.

2. Формулювання економіко-математичної моделі задачі.

3. Розв'язок задачі на ПЕОМ в симплексних таблицях (додаток А) та за допомогою надбудови MS Excel ”Поиск решения” (додаток Б).

4. Висновки за результатами розв'язку задачі.

Завдання 4. Транспортна задача.

Теоретична частина . В класичній постановці транспортна задача формулюється так: нехай на m визначених пунктах (постачальники) зосереджено однорідний вантаж у кількостях a_i (i = 1,m ), який потрібно перевезти до n інших пунктів (споживачі) у кількостях b_j (j = 1,n ). Відомо, що відстань перевезення вантажу із i-го до j-го пункту дорівнює с_ij (i = 1,m; j = 1,n ). Обсяг перевезеного вантажу із i-го до j-го пункту позначимо через х_ij.

Скласти оптимальний план перевезення всього вантажу від постачальників до споживачів з умовою повного забезпечення потреби споживачів при мінімумі вантажоперевезень.

В загальному вигляді задачі транспортного типу розв"язуються як на мінімум, так і на максимум цільової функції. Математичний запис задачі транспортного типу такий: знайти вектор невідомих х = (х₁, х₂, ..., х_j, ..., х_n), при якому цільова функція Z досягає екстремуму

_{n m}

Z_ext = ∑ ∑ c_ij x_ij

^{j=1 i =1}

при обмеженнях:

_n

1) ∑ x_ij = b_i j  (1,n); i  (1,m)

^j=1

_m

2) ∑ x_{i j} = а_j

^{i =1}

3) x_ij >= 0

Алгоритм розв’язання транспортної задачі, як і алгоритм симплексного методу, поділяється на два етапи.

1-й етап - знаходження початкового розв’язку задачі -застосовуються декілька методів:

а) діагональний або північно-західного кута - у верхню ліву клітину (північно-західний кут) транспортної таблиці записуємо максимально можливий вантаж, який можна перевезти від 1-го постачальника до 1-го споживача - порівнюються обсяги вантажу 1-го постачальника (стовпчик) і потреба 1-го споживача (рядок) і вибираєтьсянайменшечисло. Якщо потреба 1-го споживача задоволена або весь вантаж 1-го постачальника перевезено, то всі інші клітини 1-го рядка

або 1-го стовпчика транспортної таблиці будуть незаповненими (небазисними). В наступну клітину 2-ої колонки або 2-го рядка знову записуємо максимально можливий вантаж. Розрахунки продовжуютьсядоти, поки не буде розподілено за споживачами весь вантаж. Недоліком цього методу є те, що вантаж розподіляється без врахування оцінки клітини с_ij транспортної таблиці, внаслідок чого отримуємо початковий розв’язок задачі далекій від оптимального, що збільшує кількість ітерацій для отримання оптимальногорозв’язку, аперевагою - відсутність виродженого опорного розв’язку задачі;

б) подвійної переваги -спочатку окремо в кожному рядку і кожному стовпчику транспортної таблиці відмічаються клітини знайменшими(при розв’язанні задачі намінімумцільової функції) або знайбільшими(при розв’язанні задачі намаксимум цільової функції) оцінками клітинс_ij. У клітини, що мають найменшу (найбільшу) оцінку як по рядку, так і по стовпчику ставимо максимально можливийобсяг вантажу і так доти, поки не буде розподілено весь вантаж. Недоліками цього методу є велика ймовірність отриманнявиродженогоопорного розв’язку, що потребує виконання додаткових розрахунків з метою подолання виродженості, та трудоємкість пошуку клітин з найменшими (найбільшими) оцінками як по рядках, так і по стовпчиках транспортної таблиці при достатньо великих розмірах транспортної задачі, а перевагою – менша кількість ітерацій порівняно з методом північно-західного кута;

в) “найкращого” елементу матриці (транспортної таблиці) – в транспортній таблиці (матриці) знаходиться клітина з найменшою (при розв"язанні задачі на мінімум цільової функції) або з найбільшою (при розв"язанні задачі на максимум цільової функції) оцінкою с_ij клітини, в яку ставиться максимально можливий обсяг вантажу, потім наступна за нею клітина і так далі, поки не буде розподілено весь вантаж. Недоліки і переваги цього методу такі ж, як і в методі подвійної переваги.

Допустимий опорний план транспортної задачі, отриманий за будь-яким із наведених вище методів, повинен задовольняти таким умовам:

1) транспортна задача повинна бути закритою,тобто сумарна потужність всіх постачальників повинна дорівнювати сумарній потребі всіх споживачів. Для перетворення відкритої транспортної задачі в закриту вводитьсяштучний постачальник, якщо сумарна потреба споживачів більша сумарної потужності постачальників, абоштучний споживач, якщо сумарна потреба постачальників більша сумарної потужності споживачів, з нульовими оцінками клітинта обсягом вантажу, який дорівнює різниці між сумарними потужностями постачальників та потребами споживачів;

2) при розрахунках повинен забезпечуватися балансвантажів по кожному рядку і по кожному стовпчику транспортної таблиці;

3) заповнені клітини (базисні невідомі) транспортної таблиці не повинні утворювати циклів (замкнутих контурів);

4) кількість заповнених клітин в транспортної таблиці повинна дорівнювати m + n – 1, де m - кількість рядків, а n - кількість стовпчиків. Якщо кількість заповнених клітин менше m + n – 1, то отриманий опорний план задачі буде виродженим. Для подолання виродженості кількість заповнених клітин доповнюється нуль-поставками до кількості m + n – 1, але так щоб утворювана сукупність заповнених клітин разом з нуль-поставками була ациклічною.

2-й етап-знаходження оптимального розв’язку транспортної задачі - умовою оптимальності розв'язку транспортної задачі є:

1) u_i+v_j = c_ij – для базисних невідомих (заповнені клітини);

2) u_i+v_j c_ij – для небазисних невідомих (незаповнені клітини) при розв'язанні

задачі на мінімум цільової функції;

3) u_i+v_j  c_ij – для небазисних невідомих (незаповнені клітини) при розв'язанні

задачі на максимум цільової функції,

де u_i - потенціали рядків,

v_j – потенціали колонок.

Розрахунок потенціалів проводять за такою схемою: поклавши u₁=0, значення решти потенціалів отримуємо згідно умови u_i+v_j = c_ij. Оптимальність розв'язку задачі на мінімум цільової функції перевіряємо для кожної незаповненої клітини за умовою u_i+v_j c_ij, а при розв'язку задачі на максимум цільової функції за умовою u_i+v_j  c_ij. Якщо розв’язок не оптимальний, то виконуються такі розрахунки:

1. Серед „неоптимальних” клітин вибирається та, у якої різниця між сумою потенціалів і оцінкою клітини найбільша (початкова клітина циклу перерахунків). Якщо ці різниці однакові для деяких клітин, то серед них вибирається клітина з меншою оцінкою при розв'язку задачі на мінімум цільової функції, або з більшою оцінкою при розв'язку задачі на максимум цільової функції.

2. До вибраної клітини будується цикл перерахунків, в якому всі клітини крім вибраної повинні бути заповненими (базисними). При цьому будь-якому рядку або будь-якому стовпчику транспортної таблиці можуть належати тільки дві вершини циклу перерахунку. Перехід від однієї клітини до іншої може бути тільки в заповненій клітині під кутом 90^о. Цикл повинен замикатися на першій (вибраній) незаповненій клітині (тобто там, де він починався).

Цикли можуть бути різної конфігурації, наприклад:

3. У вибрану „неоптимальну” клітину циклу ставимо знак "+", а далі у вершинах циклу знаки по черзі "-", "+", "-" так, щоб у будь-якому рядку або у будь-якій колонці були тільки протилежні знаки, тобто "+" і "-". Отримуємо додатній "півцикл" з вершинами "+" і від'ємний "півцикл" з вершинами "-".Увід'ємному"півциклі" знаходимо вершину знайменшим числом (вантажем), яке додаємо в клітинах циклу із знаком "+" і віднімаємо в клітинах із знаком "-". В результаті отримуємо новий базисний розв'язок транспортної задачі.Розрахунки повторюються на кожній ітерації до отримання оптимального розв'язку.

Контрольні питання

1. Як сформулювати транспортну задачу лінійного програмування і записати її математичну модель у вигляді транспортної таблиці ?

2. Які є методи побудови початкового опорного плану транспортної задачі ?

3. Яка модель транспортної задачі називається відкритою, а яка закритою ?

4. Як відкриту модель транспортної задачі перетворити у закриту ?

5. Які змінні транспортної задачі називаються базисними, а які небазисними ?

6. Скільки базисних змінних повинно бути у не виродженому опорному плані ?

7. Як подолати виродженність опорного плану транспортної задачі ?

8. Як знайти значення потенціалів?

9. Ознаки оптимальності опорного плану транспортної задачі ?

10. Які є правила побудови циклу перерахунків?

11. Як перейти до нового базисного плану транспортної задачі ?

Приклад 4.1. Потрібно перевезти мінеральні добрива з трьох складів (постачальники) ємністю по 200 т кожний до чотирьох господарств (споживачі), потреба яких в мінеральних добривах становить відповідно 150, 100, 150 та 200 т.

Відстані від складів до господарств наведені в таблиці, км

Склади	Господарства
	S1	S2	S3	S4
D1	5	6	7	8
D2	8	9	10	11
D3	7	14	15	20