Задачі для самостійного розв’язування

Задача 12. В господарстві для вирощування озимої пшениці, кукурудзи на зерно та ячменю виділено 400 га ріллі, 24000 люд.-год. трудових ресурсів та 1600 ц мінеральних добрив. Проведені за 10 років спостереження показують, що для наступного року ймовірність бути урожайним складає 0,6, а неурожайним - 0,4. Урожайність сільськогосподарських культур та затрати праці на 1 га при цьому дорівнюють:

С.-г. культура	Роки
	урожайні		неврожайні
	урожай ність, ц	затрати праці, люд.-год.	урожай ність, ц	затрати праці, люд.-год.
1.Озима пшениця	50 + К	30 + Р	40	25
2.Кукурудза на зерно	70 + Р	50 + К	60	40
3.Ячмінь	40 + К	35 + Р	30	30

Внесення добрив на 1 га становить, ц: під озиму пшеницю – 3, кукурудзу на зерно - 8 та ячмінь – 2.

Визначити посівні площі сільськогосподарських культур з метою максимального виробництва зерна.

Зміст виконання завдання

1. Запис умов задачі за індивідуальним варіантом.

2. Формулювання економіко-математичної моделі задачі.

3. Розв’язання задачі на ПЕОМ за допомогою надбудови MS Excel ”Поиск решения” (додаток Б) .

4. Висновки за результатами розв’язку задачі.

Завдання 13. Задачі теорії ігор

Теоретична частина. Теорія гри - це математична теорія конфліктних ситуацій. Її мета - складання рекомендацій розумної поведінки учасників конфлікту. Щоб зробити можливим аналіз конфліктної ситуації будується її математична модель. Від реального об’єкту гра відрізняється тим, що вона ведеться за певними правилами. Ці правила визначають “права і обов’язки” учасників (партнерів, гравців), а також підсумок гри - виграш чи програш кожного учасника. Якщо у грі приймають участь два партнера, то гра називається парною, якщо більше - множинною. Однією із задач множинної гри є виявлення розумних коаліцій та правил обміну інформацією між учасниками.

Розвиток гри у часі представляє собою послідовність ходів гравців. Ходом називається вибір гравцем однієї із передбачених правилами дій та її здійснення. Ходи бувають особисті і випадкові. При особистому ході гравець свідомо вибирає той, чи інший варіант дій (наприклад, шахи), а при випадковому - за якимось механізмом випадкового вибору (наприклад, кидання монети, гральної кості тощо). Деякі види гри складаються тільки з випадкових ходів (азартні ігри) і ними теорія гри не займається. Її мета - оптимізація поведінки партнерів у грі, де поряд з випадковими є і особисті ходи. Такі ігри називають стратегічними.

Стратегією гравця називається сукупність правил, які визначають вибір варіанту дій в залежності від ситуації, що склалася. Оптимальною називається стратегія гравця, яка забезпечує йому максимальний виграш або мінімальний програш. Гра називається грою з нульовою сумою, якщо сума всіх виграшів дорівнює сумі всіх програшів, або сума всіх виграшів (+) та програшів

(-) дорівнює нулю (кожний гравець виграє за рахунок інших). Парні ігри з нульовою сумою називаються антагоністичними.

В теорії ігор найбільш розробленою є кінцева парна гра з нульовою сумою, яка формулюється так: нехай є m можливих стратегій гравця А (А₁, А₂ … А_i … А_m) та n можливих стратегій гравця В (В₁, В₂ … В_j… В_n). Позначимо a_ij виграш гравця А, якщо він користується стратегією А_i, та програш гравця В, якщо він користується стратегією В_j (можна поміняти гравців місцями). Тоді можна скласти таблицю (матрицю), в якій перераховані стратегії гравців і відповідні цим стратегіям виграші або програші, тобто привести гру до матричної форми. Така матриця називається платіжною.

Розглянемо приклад гри розміром m х n = 3 х 3 в матричній формі

Платіжна матриця

	В1	В2	В3	Max Аi
А1	26	18	31	18
А2	19	35	28	19
А3	46	23	33	23
Min Вi	46	35	33

Основним принципом теорії гри є принцип "мінімаксу": потрібно вибирати таку стратегію гри, щоб при найкращій стратегії партнера отримати максимальний виграш або мінімальний програш.

Відповідно до цього принципу в кожному рядку платіжної матриці визначаємо мінімальне значення a_ij і записуємо отримані результати в додаткову колонку Max А_i. З усіх значень цієї колонки вибираємо максимальне значення (23), якому відповідає стратегія А₃. Вибравши цю стратегію гравець А при будь-яких стратегіях гравця В виграє не менше (може і більше) 23. Ця величина називається гарантованим виграшем або нижньою ціною гри (максимін) і позначається α = 23.

Для гравця В (прагне програти якнайменше) в кожній колонці платіжної матриці визначаємо максимальне значення a_ij і записуємо отримані результати в додатковий рядок Min В_j. З усіх значень цього рядка вибираємо мінімальне значення (33), якому відповідає стратегія В₃. Вибравши цю стратегію гравець В при будь-яких стратегіях гравця А програє не більше (може і менше) 33. Ця величина називається верхньою ціною гри (мінімакс) і позначається β =33. Стратегії А₃ та В₃ називаються мінімаксними і доти, поки гравці будуть дотримуватись цих стратегій виграш гравця А буде не менше 23, а програш гравця В не більше 33. В наведеному прикладі мінімаксні стратегії гравців не мають рівноваги, тому що α =/= β. Якщо α = β, то мінімаксні стратегії гравців будуть сталими (гра має сідлову точку) і дорівнюють α = β = v, де v - ціна гри. Стратегії А_i та В_j , при яких досягається виграш (програш) v, називаються чистими стратегіями, а їх сукупність - розв’язком гри. Крім чистих застосовуються також і мішані стратегії, суть яких полягає в тому, що гравець застосовує не одну стратегію а декілька, перемежовуючи їх довільним способом.

Доведена основна теорема теорії гри: будь-яка гра двох гравців з нульовою сумою має у крайньому разі один розв’язок - пару оптимальних стратегій (в загальному випадку мішаних) і відповідну ціну гри. Ця теорема є основою для розв’язання задач матричної гри методами лінійного програмування.

Матричну гру двох учасників з нульовою сумою можна розв’язати методами лінійного програмування. Задача формулюється так: знайти вектори ймовірностей стратегій х = (х₁, х₂, ..., х_i, ..., х_m) гравця А та вектори ймовірностей стратегій

у = (у₁, у₂, ..., у_j, ..., у_n) гравця B з метою визначення оптимального значення ціни гри v та оптимальних стратегій:

α ≤ v ≤ β

Оскільки оптимальні стратегії гравців А та В дозволяють отримати виграш v, то використання оптимальних змішаних стратегій гравцем А має забезпечити виграш не менший за ціну гри v в разі вибору гравцем В будь-яких стратегій.

Ця умова для гравця А математично записується як

 a_ij х_i ≥ v,

а для гравця В (програш не повинен перевищувати ціну гри v )  a_ij y_j ≤ v,

де a_ij - коефіцієнти платіжної матриці.

Модель задачі може бути спрощена, якщо всі обмеження поділити на v.

Нехай х_j / v = t_j , тоді для гравця А модель має вигляд:

W _min =  t_i

за умов:

1)  a_ij t_i ≥ 1 i(1,m)

2) t_j ≥ 0

Розв’язавши задачу симплексним методом, знаходимо t_j, а розрахувавши

v = 1/ W_min, визначаємо оптимальні стратегії для гравця А за формулою х_j = v *t_j.

За аналогією запишемо задачу лінійного програмування для гравця В, прийнявши u_j= y_j / v. Тоді маємо таку модель:

Z_max =  u_j

за умов:

1)  a_ij u_j ≤ 1 j(1,n)

2) u_j ≥ 0.

Розв’язавши задачу симплексним методом, знаходимо u_j, а розрахувавши

v = 1/ Z_max, визначаємо оптимальні стратегії для гравця В за формулою y_j = v* u_j.

Очевидно, що задача лінійного програмування для гравця В є двоїстою до задачі для гравця А.

1. Контрольні питання.

2. Яка мета теорії ігор ?

3. Яка гра називається парною, а яка множинною ?

4. Що називається ходом гравця ?

5. Які ходи називаються особистими, а які випадковими ?

6. Яка стратегія гравця називається оптимальною ?

7. Яка гра називається грою з нульовою сумою ?

7. Що називається платіжною матрицею ?

8. Як визначається нижня та верхня ціна гри ?

10. Як матрична гра двох гравців з нульовою сумою зводиться до розв’язання пари двоїстих задач лінійного програмування?

Приклад 13. Підприємство може реалізувати продукцію А₁, А₂ та А₃, одержуючи прибуток в залежності від попиту, який умовно може бути визначений трьома різними станами В₁, В₂ та В₃. Платіжна матриця (прибуток, тис. грн.) наведена у таблиці:

Платіжна матриця

Попит Вид продукції	В1	В2	В3
А1	26	18	31
А2	19	35	28
А3	46	23	33

Визначити оптимальні стратегії реалізації продукції, які б гарантували деяку

середню величину прибутку за будь-якого попиту, вважаючи його невизначеним.

Розв'язання. Сформулюємо пряму задачу лінійного програмування для

гравця А (реалізація продукції): знайти

W_min = t₁ + t₂ + t₃

при обмеженнях:

1) 26 t₁ + 19 t₂ + 46 t₃ ≥ 1

2) 18 t₁ + 35 t₂ + 23 t₃ ≥ 1

3) 31 t₁ + 28 t₂ + 33 t₃ ≥ 1

Розв’язавши задачу симплексним методом отримуємо: W_min = 0,0333, t₁ = 0 ;

t₂ = 0,0196; t₃ = 0,0137. Визначаємо ціну гри або середній прибуток підприємства

v = 1/ W_min = 1 / 0,0333 = 30,0 тис. грн, а також оптимальні стратегії гравця А за формулою х_j = v* t_j: х₁ = 0; х₂ = 30,0  0,0196 = 0,59; х₃ = 30,0  0,0137 = 0,41.

Висновки. Підприємству доцільно реалізувати 59% продукції А₂ та 41% продукції А₃ і не реалізувати продукцію А₁.

Сформулюємо двоїсту задачу лінійного програмування для гравця В (попит): знайти

Z_max = u₁ + u₂ + u₃

при обмеженнях:

1) 26 u₁ + 18u₂ + 31u₃ ≤ 1

2) 19u₁ + 35u₂ + 28 u₃ ≤ 1

3) 46 u₁ + 23u₂ + 33 u₃ ≤ 1

Розв’язавши задачу симплексним методом отримуємо: Z_max = 0,0333, u₁ = 0;

u₂ = 0,0098; u₃= 0,0235. Визначаємо ціну v = 1/ W_min = 1 / 0,0333 = 30,0 тис. грн, а також оптимальні стратегії гравця В за формулою y_j = v *u_j: у₁ = 0;

у₂ = 30,0  0,0098 = 0,29; у₃ = 30,0  0,0235 = 0,71.

Висновки. Оптимальний попит на 29% знаходиться у стані В₂ та на 71% у стані В₃.

Задачі для самостійного розв’язування

Задача 13 Агрофірма може реалізувати зерно озимої пшениці (А₁), кукурудзи (А₂), ячменю (А₃) та гороху (А₄), одержуючи прибуток у залежності від попиту, який умовно може бути визначений трьома різними станами В₁, В₂ та В₃. Платіжна матриця (прибуток, тис. грн) наведена у таблиці.

Платіжна матриця

Попит Вид продукції	В1	В2	В3
А1	80+К	140+Р	120+К
А2	90+Р	50+К	60+Р
А3	120+К	70+Р	90+К
А4	70+Р	110+К	80+Р

Визначити оптимальні стратегії реалізації продукції, які б гарантували деяку середню величину прибутку за будь-якого попиту, вважаючи його невизначеним. Дати рекомендації агрофірмі щодо реалізації продукції та зробити аналіз попиту.