Зміст виконання завдання

1. Математичний запис прямої задачі для гравця А та двоїстої задачі для гравця В.

2. Розв’язання прямої та двоїстої задач на ПЕОМ за допомогою надбудови MS Excel ”Поиск решения” (додаток Б).

3. Висновки за результатами розв’язку задач.

Зм 11. Багатокритеріальні задачі

Завдання 14. Методи багатокритеріальної оптимізації

Теоретична частина. Однією із проблем розв"язання оптимізаційних задач є невизначеність мети, коли оцінки якості розв"язання задачі відображаються за допомогою множини критеріїв, і таким чином природно виникає багатокритеріальна задача дослідження операцій. Прикладом таких задач може бути придбання сільськогосподарської техніки, наприклад, трактора. Важливими критеріями в цьому випадку є ціна, потужність, витрати пального, експлуатіційні затрати, комфортність, гарантія, наявність сервісного обслуговування. Знайти розв"язок, який одночасно був би найкращим за всіма критеріями, неможливо, тому що, як правило, покращення значення одного із критеріїв приводить до погіршення іншого. В загальному випадку розв"язком багатокритеріальної задачі є множина недомінованих Парето-оптимальних розв"язків, побудова яких в більшості випадків неможлива внаслідок значних обчислювальних процедур. Крім того, в більшості випадків задача полягає в знаходженні одного розв"язку, який повинен належати до множини Парето-оптимальних розв"язків, а ось яким він буде виявляється лише в процесі розв"язання задачі. Тому на практиці розроблено і застосовується ряд методів:

1. Метод згортання критеріїв – приведення множини критеріїв до одного глобального за допомогою вагових коефіцієнтів, які відображають важливість критеріїв, та розв"язування класичної однокритеріальної задачі.

Основною проблемою цього методу є проблема виявлення точних значень вагових коефіцієнтів, процедура визначення яких в більшості випадків є суб"єктивною. Крім того, коефіцієнти в методі згортання повинні бути розмірними, тому що критерії в більшості випадків мають різну розмірність. З метою позбавлення цього недоліку окремі критерії нормуються (нормовані критерії є безромірними та змінюються в інтервалі від 0 до 1). Але нормовані критерії не мають змістовного навантаження, і тому об"єктивне визначення вагових коефіцієнтів ще більш ускладнюється.

Для лінійного згортання ненормованих критеріїв застосовується формула

_n

Z_ext =  [c_j * Z_j (а,х)] при  c_j = 1 та c_j ≥ 0,

^j=1

а для нормованих критеріїв

_n

Z_ext =  {c_j * [Z _j (а,х) - Z_і^min ] / [Z^max - Z_j^min ] } при  c_j = 1 та c_j ≥ 0

^j=1

де c_j – вагові коефіцієнти критеріїв;

Z^max та Z _j ^min – максимальне та мінімальне значення j–го критерію

2. Метод "ідеальної точки" – базується на тому, що постулюється існування "ідеальної точки" для розв"язку задачі, у якій досягається екстремум усіх критеріїв (принцип Джофріона). Оскільки ідеальна точка в абсолютній більшості випадків не знаходиться серед допустимих розв"язків, виникає проблема знаходження точки, яка "найближча" до "ідеальної точки" і належить області допустимих розв"язків. Для визначення координат "ідеальної точки" розв"язується n однокритеріальних задач за кожним з критеріїв оптимізації

Z_j (а,х). Сукупність оптимальних значень критеріїв кожної із однокритеріальних задачі визначає координати "ідеальної точки" Z^*= (Z₁, Z₂ ... Z_n) в просторі критеріїв. Якщо "ідеальна точка" належить до множини допустимих (зустрічається дуже рідко), то розв"язок багатокритеріальної задачі отримано.

В іншому випадку визначається "віддаль" до "ідеальної точки", для чого вводится метрика, за допомогою якої можна було б виміряти віддаль до оптимальної точки в лінійних та нелінійних задачах (якщо на площині з тим чи іншим обґрунтуванням можна застосувати Евклідову метрику, то, наприклад, на поверхні кулі найкоротшою віддалю буде дуга, а не пряма), і розв"язується однокритеріальна задача з числа допустих, яка найменш віддалена від ідеальної точки.

Якщо обрана Евклідова метрика, то критерій оптимальності задачі буде ати вигляд:

___________

_n

Z_ext = √  (Z _j - Z _j^*)² → min

^j=1

де Z _j – оптимальне значення j-го критерію;

Z^* – оптимальне значення критерію в ідеальній точці.

3. Метод переведення критері\в в обмеження – для отримання однокритеріальної задачі потрібно визначити головний критерій Z₁, за яким проводитиметься оптимізація, та нормативні значення для кожного з інших критеріїв Z_j^N (значення цих критеріїв не може бути менше за нормативне), які будуть переведені в обмеження, та розв"язування отриманої однокритеріальної задачі:

Z₁ → ext при Z₂ ≥ Z₂^N, ... Z _n ≥ Z _n^N .

Основними проблемами при застосуванні цього методу є труднощі з визначенням головного критерію та нормативних значень для інших критеріїв. Якщо нормативні значення обрані недостатньо великими, то не всі резерви покращення розв"язку за рахунок цих критеріїв будуть використані. Якщо обрані значення будуть завеликими, то задача взагалі може не мати оптимального розв"язку в зв"язку з відсутністю області допустимих розв"язків.

4. Метод контрольних показників – в цьому методі система нормативів задається для всіх критеріїв Z_j^N, а критерій оптимальності Z(х) має вигляд:

Z(х) = min Z _j (х) / Z_j^N → mах

^{j х}

Недоліком цього методу є проблема обґрунтування значень нормативів і додається проблема розв"язку максимінної задачі.

5. Метод послідовних поступок – в цьому методі насамперед впорядовуються критерії за важливістю в порядку їх спадання: Z₁ › Z₂ › ... Z _n. Після цього на кожному j-му кроці алгоритму розв"язуються задачі за кожним із впорядкованих критеріїв (спочатку за самим важливим) і особою, яка приймає рішення (ОПР), призначається поступка ∆Z_j, на яку можна зменшити отримане оптимальне значення критерію Z^*, щоб покращити значення інших менш важливих критеріїв Z_j^*. Це досягається введенням на кожному кроці додаткового обмеження, що враховує величину поступки: Z_j ≥ Z_j^* - ∆Z_j, і таким чином на (j+1)-му кроці розв"язується задача:

Z_j+1 (х) → mах при Z₁ ≥ Z₁^* - ∆Z₁, Z₂ ≥ Z₂^* - ∆Z₂ .... Z_j ≥ Z_j^* - ∆Z_j

Процес розв"язування закінчується у випадках, коли або досягнуто останнього критерію, або ж призначення поступки недоцільне. Недоліком цього методу я к і багатьох інщих є наявність елементів суб"єктивізму.

6. Діалоговий метод – характерною рисою цього методу є участь в процесі розв"язування задачі ОПР, що дозволяє скорегувати перебіг рішення задачі та врахувати деякі неформальні моменти. Розповсюдженим є запропонований Джофріоном алгоритм, який використовує ідеї відомого градієнтного методу. Розв"язання задачі починається із знаходження будь-якої точки допустимої області Парето-оптимальних розв"язків. На кожному етапі визначається напрям руху (еквівалент градієнту у градієнтому методі) та довжина кроку у цьому напрямку шляхом опитування ОПР щодо значень коефіцієнтів заміщення критеріїв в біжучій точці, а саме: яким значенням зміни одного із критеріїв можна компенсувати зміну іншого критерію. Після цього ОПР задає величину кроку у заданому напрякуі здійснює крок. Якщо величина кроку приводить до виходу за межі допустимої області, то величина кроку зменшується, щоб отримана точка належала до області допустимих значень. Процедура повторюється, поки ОПР не зупинить ії виконання, або поки не будуть виконані формальні умови зупинки. Цей метод висуває високі вимоги до ОПР відносно виявлення значень коефіцієнтів заміщення критеріїв і, як і інші методи, в деякій мірі є суб"єктивним.

Контрольні питання.

1. Що є причиною виникнення багатокритеріальних задач ?

2. Які властивості мають Парето-оптимальні розв"язки ?

3. Суть методу згортання критеріїв ?

4. Яким чином розв"язуються задачі методом "ідеальної точки" ?

5. Переваги та недоліки методу переведення критеріїв в обмеження ?

6. Суть методу контрольних показників ?

7. В чому полягає суть методу послідовних поступок ?

8. Алгоритм діалогового методу ?

Приклад 14. Визначити найкраще рішення при оцінюванні шести можливих варіантів (А₁ – А₆) за трьома критеріями Z ₁, Z ₂ та Z ₃, шляхом використання контрольних показників: Z₁^N = 7, Z₂^N =10 та Z₃^N = 12.

	А1	А2	А3	А4	А5	А6
Z1N	10	8	7	5	18	3
Z2N	3	3	8	6	4	6
Z3N	8	11	2	6	4	14

Розв'язання. Відповідно до співвідношення

Z(х) = min Z _j (х) / Z_j^N → mах

^{j х}

виконаємо розрахунки:

	А1	А2	А3	А4	А5	А6
Z1N =7	10/7=1,429	8/7=1,143	7/7=1,000	5/7=0,714	18/7=2,571	3/7=0,429
Z2N=10	3/10=0,300	3/10=0,300	8/10=0,800	6/10=0,600	4/10=0,400	6/10=0,600
Z3N=12	8/12=0,667	11/12=0,91	2/12=0,167	6/12=0,500	4/12=0,333	14/12=1,16
mах	0,300	0,300	0,167	0,500	0,333	0,429

Серед мінімальних значень обираємо максимальне, що відповідає альтернативі А₄.

Задача для самостійного розв’язування

Задача 14. Для виконання сільськогосподарських робіт фермер планує придбати трактор марки МТЗ за ціною від 140+Р до 160+К тис. грн., потужністю від 80 до 102 к.с. та питомою вагою затрат палива при повному навантаженні від 15 до 19 кг за 1 годину. Пропозиції ринку такі:

Контрольні критерії*)	Трактора марок
	МТЗ-80	МТЗ-82	МТЗ-100	МТЗ-102
1. Ціна, тис.грн. (Z1N)	140+Р	150+К	155+Р	160+К
2. Потужність, к.с. (Z2N)	80	82	100	102
3. Затрати палива, кг/год (Z3N)	15	15	19	19

^*) Котрольні критерії розрахувати як середні величини.

За методом контрольних показників обґрунтувати вибір марки трактора найбільш оптимальної для придбання.