Критерій оптимальності – мінімум затрат праці - запишемо як

W_mіn= 20х₁ + 30х₂

Для запису задачі в канонічній формі введемо додаткові змінні S₁ S₂ та S₃, які в умовах даної задачі мають такий економічний зміст:

S₁ – кількість невикористаної площі ріллі, га

S₂ – перевиконання плану виробництва кормових одиниць, ц к. од.

S₃ – перевиконання плану виробництва перетравного протеїну, ц.

Тоді умови задачі можна записати так: знайти

W_mіn= 0 - ( - 20х₁- 30х₂)

при обмеженнях: 1) х₁+ х₂+ S₁=430; 2) 50х₁+40х₂ – S₂=20000; 3) 4х₁+5х₂ – S₃=1780

Розв'язуючи систему рівнянь відносно додаткових змінних S₁ S₂ та S_3, вже не отримуємо допустимого розв'язку, тому що змінні S₂ та S₃ мають від'ємні значення (порушується правило невід"ємності базисних змінних).

В систему рівнянь, де знаходяться ці змінні, вводимо штучні змінні А₁ та А₂. Тоді обмеження задачі можна записати так: 1) х₁ + х₂ + S₁ = 430; 2) 50х + 40х₂ – S₂ + А₁ = 20000;

3) 4х₁ + 5х₂ – S₃ + А₂ = 1780.

В допустимому розв'язку всі штучні змінні повинні дорівнювати нулю. Для цього сформулюємо додаткову цільову функцію, яка передбачає знаходження мінімуму суми штучних змінних, а саме: F_min = А ₁ + А_2. Розв'яжемо систему рівнянь відносно змінних S₁, А₁ та А₂: S₁ = 430 – (х₁ +х₂); А₁ = 20000 – (50х₁ + 40х₂ – S₂); А₂ = 1780 - (4х₁ + 5х₂ – S₃). Якщо прийняти х₁ = х₂ = S₂ = S₃ = 0, то отримуємо опорний розв'язок: S₁ = 430, А₁ = 20000, А₂ = 1780 та W_mіn= 0.

Підставивши у F_min =А₁ + А₂ значення А₁ та А₂ , отримуємо

F_min = 20000 – (50х₁ + 40х₂ – S₂) + 1780 – (4х₁ +5х₂ – S₃) = 21780 – (54х₁ + 45х₂ – S₂ – S₃).

Розв'язання задачі виконаємо в симплексних таблицях.

1-й етап - знаходження допустимого розв’язку.

Симплексна таблиця 3.1

Базисні змінні	Значення базисних змінних	х1	х2	S1	S2	S3	А1	А2	L
S1	430	1	1	1	0	0	0	0	430
А1	20000	50	40	0	-1	0	1	0	400
А2	1780	4	5	0	0	-1	0	1	445
Wmin	0	-20	-30	0	0	0	0	0
Fmin	21780	54	45	0	-1	-1	1	1

В F-рядку найбільший невід'ємний коефіцієнт дорівнює 54. Він належить змінній х₁ і тому цей стовпчик буде розв'язуючим. Розрахуємо симплексні відношення: _{min {430 / 1= 430; 20000 / 50 = 400 ; 1780 / 4 = 445 } = 400}

Мінімальне відношення належить 2-му рядку, який і буде розв'язуючим. На перетині розв'язуючих стовпчика і рядка знаходиться розв'язуючий елемент (50).

Пошук нового базисного розв'язку здійснюємо за допомогою методу виключень Жордана-Гаусса.

Симплексна таблиця 3.2

Базисні змінні	Значення базисних змінних	х1	х2	S1	S2	S3	А1	А2	L
S1	30	0	0,2	1	0,02	0	-0,02	0	150
Х1	400	1	0,8	0	-0,02	0	0,02	0	500
А2	180	0	1,8	0	0,08	-1	-0,08	1	100
Wmin	8000	0	-1,4	0	-0,4	0	0,4	0
Fmin	180	0	1,8	0	0,4	-1	-0,4	1

В симплексній таблиці 3.2 функція F_min=180, а серед базисних є штучна зміна А₂, тому допустимого розв'язку задачі ще не отримано. Знаходимо розв'язуючий стовпчик (х₂) і розраховуємо симплексне відношення :

_{min {30 / 0,2= 150; 400 / 0,8 = 500 ; 180 / 1,8 = 100 } = 100}

3-й рядок – розв'язуючий, а розв'язуючий елемент дорівнює 1,8.

Переходимо до визначення нового базисного розв'язку.

Симплексна таблиця 3.3

Базисні змінні	Значення базисних змінних	х1	х2	S1	S2	S3	А1	А2	L
S1	10	0	0	1	0,011	0,111	-0,011	-0,111	900
x1	320	1	0	0	-0,055	0,444	0,055	-0,444	-
х2	100	0	1	0	0,044	-0,555	-0,044	0,555	2250
Wmin	9400	0	0	0	0,222	-7,778	-0,222	7,778
Fmin	0	0	0	0	0	0	0	0

В симплексній таблиці 3.3 відсутні штучні змінні А₁ та А₂, а функція F_min дорівнює нулю. Це свідчить про те, що отримано допустимий базисний розв'язок і можна переходити до знаходження екстремуму функції W_min. В зв'язку з тим, що штучні змінні та функція F_min свою роль в розрахунках вже відіграли, то в наступних обчислювальних процедурах їх можна виключити.

2-й етап - знаходження оптимального розв’язку. Розв'язок в симплекс-таблиці 3.3 не оптимальний, тому що в W_min- рядку є додатній коефіцієнт 0,222, який належить змінній S₂. Стовпчик S₂ – розв'язуючий. Розраховуємо симплексневідношення: min{10/0,011=900;100/0,044=2250}=900.

1-й рядок – розв'язуючий, а розв'язуючий елемент дорівнює 0,011. Переходимо до визначення нового базисного розв'язку.

Симплексна таблиця 3.4

Базисні змінні	Значення базисних змінних	х1	х2	S1	S2	S3
S2	900	0	0	90	1	10
x1	370	1	0	5	0	1
х2	60	0	1	4	0	-1
Wmin	9200	0	0	-20	0	-10

В симплексній таблиці 3.4 отримано оптимальний розв'язок: W_min =9200; x₁=370; x₁ = 60; S₁=0; S₂ = 900.

Висновки. Для виробництва планового обсягу концентрованих кормів площа ячменю повинна дорівнювати 370 га (х₁=370), а площа гороху – 60 га (х₂ = 60). При цьому площа ріллі використана повністю (S₁=0). Концентрованих кормів буде заготовлено на 900 ц к. од. (S₂ =900), більше ніж це передбачено завданням. Затрати праці на виробництво кормів становлять 9200 люд.-год. (W_min=9200).

Задачі для самостійного розв'язання

Задача 3.1. Знайти посівні площі зернофуражних культур при мінімаль-

них затратах праці на їх вирощування. Вихід поживних речовин та затрати

праці (в розрахунку на 1 га) такі:

Показник	Кукурудза на зерно	Ячмінь	Горох
1.Вихід кормових одиниць, ц	70	40	30
2.Вихід перетравного протеїну, ц	4	3	5
3.Затрати праці, люд.-год.	40	20	30

Планові завдання виробництва кормів та площа ріллі наведені в таблиці:

Варіант (за передостанньою цифрою шифру Р)	Планові завдання виробництва		Площа ріллі, га
	кормових одиниць, ц	перетравного протеїну, ц
0	20000	2100 + 10К	500
1	21000	2120 + 10К	520
2	22000	2140 + 10К	540
3	23000	2260 + 10К	560
4	24000	2380 + 10К	580
5	25000	2560 + 10К	600
6	26000	2620 + 10К	620
7	27000	2740 + 10К	640
8	28000	2860 + 10К	660
9	29000	2980 + 10К	680