Зміст виконання завдання

1. Запис умов задачі за індивідуальним варіантом.

2. Розрахунок плану заміни обладнання.

3. Висновки за результатами розв"язку задачі.

Зм 10. Задачі з умовами невизначеності та конфлікту

Завдання 12. Моделі стохастичного програмування

Теоретична частина. Якщо в задачах математичного програмування

Z_ext = CX

при обмеженнях:

1) AX = B

2) X ≥ 0

параметри С, А та В представлені випадковими величинами, то вони відносяться до задач стохастичного програмування. Якщо відомі основні характеристики випадкових параметрів С, А та В (закон розподілу, математичне сподівання, дисперсія тощо), то цільовою функцією стохастичної задачі може бути:

1. максимізація або мінімізація математичного сподівання економічного показника (М - моделі);

2. мінімізація дисперсії економічного показника за умови обмеження на певному рівні середньої величини цього показника (V- моделі);

3. ймовірність перевищення (не перевищення) економічним показником певного фіксованого рівня (P - моделі).

В стохастичних задачах як цільова функція, так і обмеження можуть бути представлені як лінійними, так і нелінійними функціями.

Задачі стохастичного програмування поділяються на:

- одноетапні - використовуються, коли рішення приймається на підставі відомих характеристик розподілу ймовірностей випадкових параметрів. При цьому випадкові параметри замінюють їх середніми величинами і початкову задачу стохастичного програмування приводять до детермінованої;

- двохетапні - процес розв"язування задачі поділять на два етапи. На першому етапі вибирається попередній план, який задовольняє умови задачі за будь-якої реалізації випадкових параметрів. На другому етапі розраховується величина компенсації відхилень розробленого плану від фактичних значень, які були визначені після реалізації випадкових параметрів.

Контрольні питання.

1. Які задачі відносяться до задач стохастичного програмування?

2. Які є класи задач стохастичного програмування ?

3. Як привести задачу стохастичного програмування з відомими характеристиками випадкових параметрів до детермінованої задачі лінійного програмування ?

Розглянемо приклад розв’язання лінійної одноетапної стохастичної задачі з випадковими параметрами c_j та a_ij і детермінованим b_i, які найбільш поширені при моделюванні сільськогосподарського виробництва.

Приклад 12. В господарстві для вирощування озимої пшениці, кукурудзи на зерно та ячменю виділено 400 га ріллі, 20000 люд.-год. трудових ресурсів та 1500 ц мінеральних добрив. Проведені за 10 років спостереження показують, що для наступного року ймовірність бути урожайним складає 0,6, а неврожайним - 0,4. Урожайність сільськогосподарських культур та затрати праці на 1 га при цьому становлять:

С.-г. культура	Роки
	урожайні		неврожайні
	урожай ність, ц	затрати праці, люд.-год.	урожай ність, ц	затрати праці, люд..-год.
Озима пшениця	40	45	35	30
Кукурудза на зерно	60	70	55	50
Ячмінь	30	35	25	20

Внесення добрив на 1 га становить, ц: під озиму пшеницю – 3, кукурудзу на зерно - 6 та ячмінь – 4.

Визначити посівні площі сільськогосподарських культур з метою максимального виробництва зерна.

Розв'язання. Для формулювання економіко-математичної моделі задачі введемо такі позначення:

х₁- площа озимої пшениці, га;

х₂- площа кукурудзи на зерно, га;

х₃- площа ячменю, га;

Z – обсяг виробництва зерна,ц.

Розрахуємо математичні сподівання випадкових величин:

С.-г. культура	Урожайність, ц	Затрати праці, люд.-год.
1.Озима пшениця	40х0,6+35х0,4=38	45х0,6+30х0,4=39
2. Кукурудза на зерно	60х0,6+55х0,4=58	70х0,6+50х0,4=62
3. Ячмінь	30х0,6+25х0,4=28	35х0,6+20х0,4=29

Тоді, детермінова математична модель задачі буде мати вигляд:

Z_max = 38 х₁ + 58 х₂ + 28 х₃

при обмеженнях:

1) х₁ + х₂ + х₃ <= 400

2) 39х₁ + 62х₂ + 29х₃ <= 20000

3) 3х₁ + 6х₂ + 4х₃ <= 1500

Початкова стохастична задача приведена до детермінованої задачі лінійного програмування, яку можна розв’язати симплексним методом. Оптимальний розв’язок цієї задачі такий: Z_{max =} 17200; х₁= 300; х₂ = 100; х₃ = 0; s₁ = 0; s₂ =2100 та s₃ = 0.

Висновки. Для виробництва 17200 ц (Z_{max =} 17200) зерна господарство повинно вирощувати озиму пшеницю на площі 300 га (х₁= 300) та кукурудзу на площі 100 га (х₂ = 100). Площа ріллі та мінеральні добрива будуть використані повністю (s₁ = 0; s₃ = 0), а залишок трудових ресурсів дорівнює 2100 люд.-год. (s₂ = 2100).