4.Моделидинамическихобъектов

Распространеннымспособомописанияповедениядинамическойсистемыявляетсясистемадифференциальныхилиинтегро-дифференциальныхуравнений.

Реализацию таких математических моделей в Simulink

рассмотримнарядепримеров.

Пример4.1.Модельфизическогомаятника,находящегосяподвоздействиемэкспоненциально-затухающегокосинусоидальноговозмущения.

_{Уравнениедвижениятакогомаятникаимеетвид:}

2

^dy(t)_+a

^dy(t)_{+ay(t)=ae−a4t⋅cosat,}

_dt²

¹_dt ^{2 3 5}

0

_{y(t) =y,}

^t=0

dy(t)

dt

t=0

=y₀^′.

Выбравчисловыезначенияпараметров,например:a₁₌a₂₌0,1,

^a₃^=−5,a₄^=1,a₅^{=0,1,получимследующееуравнение:}

_{y′+0.1y′+0.1y=−5e}^−t_{⋅cos(0.1t),}

y(0)=−1.5,

y^′(0)=2.

Структурнаясхемамоделибудетиметьвид,показанныйнарис.4.1.

Результатыработымоделипоказаннаэкраневиртуальногоосциллографа(рис.4.2),апараметрическийграфикзависимостипроизводнойсигналаотсигнала(фазовыйпортретмаятника)изображеннарис.4.3.

_{-1 e}^u

Ramp

Gain2

0.1

Gain3

Math

Function

cos

Trigonometric

Function

Product

Gain4^-5

Gain1

0.1

1s

Integrator

1s

Integrator1

Scope

Gain

0.1

XYGraph

Рис.4.1.Модельфизическогомаятника

Рис.4.2.Движениефизическогомаятника

Рис.4.3.Фазовыйпортретфизическогомаятника.

Пример4.2.Модельдинамическойсистемы,описываемойдифференциальнымуравнением3-гопорядка.

_{Заданодифференциальноеуравнение:}

3

^dy(t)_+2.5^d

2

^y(t)₊₆^dy(t)_+2.5y(t)=e^−t_,

_dt³

_dt² dt

y(0)=1;y^′(0)=−1;y^′(0)=2.

Структурнаясхемамоделидинамическойсистемы,построеннаяпообычнымправиламаналоговойвычислительнойтехники,приведенанарис.4.4.

Math

Function

_eu

Ramp

Scope

1s

Integrator1

1s

Integrator2

1s

Integrator3

XYGraph

Gain1

2.5

Gain2

6

Gain3

2.5

Рис.4.4.Структурнаясхемамоделидинамическойсистемы3порядка.

Коэффициентыуравненияустанавливаютсявокнахпараметровмасштабныхблоков(Gain1–Gain3).Начальныеусловиядляфункцийипроизводныхвокнахпараметровинтеграторов(Integrator1–Integrator3.ПраваячастьдифференциальногоуравнениясформированаспомощьюблоковRamp(генератораргумента-t)иблокаMathFunction,настроенногонареализациюэкспоненциальнойфункции.Визуализацияпереходногопроцессапоказананаэкраневиртуальногоосциллографа(рис.4.5).Фазовыйпортретсистемынаэкраневиртуальногодвухкоординатногорегистратора(XYGraph)приведеннарис.4.6.

Рис.4.5.Переходныйпроцесссистемы

Рис.4.6.Фазовыйпортретсистемы

Пример4.3Модельтраекторииполетатела,брошенногосначальнойскоростьюподугломкгоризонту.Предположим,чтонаблюдатель,находясьнадуровнемземлинавысоте1м,бросилкаменьподуглом30градусовкгоризонтусначальнойскоростью20м/сек.Необходимореализоватьмодельтраекторииполетакамняподдействиемсилытяжестииопределитьрасстояниеотнаблюдателядоточкипадениякамня.Влияниематмосферынаполеткамняпренебречь.Уравнениядвижениякамня,какэтоследуетизшкольногокурсафизики,имеютвид:

_t²

y=y₀₊v⋅sin(α)⋅t−g⋅ ,

²

_{x=v⋅cos(α)⋅t,}

где:y₀₌1м,v=20м/сек,α=30^o,g=9.81м/сек.

_{Структурнаясхемамоделитраекториикамняприведенанарис.}

_4.7.

1s

Integrator1

1s

Integrator2

-K-

Gain2

^<= _STOP

¹ Constant

10

Gain1

-K-

Gain3

0

Constant1

^Relational_{StopSimulation}

Operator

XYGraph

36.97

Display

Scope

Рис.4.7.Структурнаясхемамоделитраекториикамня

ВертикальнаясоставляющаяначальнойскоростикамнязадаетсяблокомGain1,горизонтальнаясоставляющая-блокомGain3,ускорениеземноготяготения–блокомGain2.Значениетекущейвысотыполетакамнякакфункциивремениформируетсянавыходесумматора.СигналокончаниямоделированияформируетсяблокамиRelationalOperatorиStopSimulationвмоментвремени,когда

высотаyсравняетсяснулем.Показанияцифровогорегистраторасоответствуетдлинепутипогоризонтали,пройденнойкамнемдомоментасоприкосновениясземлей.Нарис.4.8и4.9показанысоответственнотраекториякамнянаэкраневиртуальногодвухкоординатногорегистратораиграфикизменениявовременивысотыполетакамня.

Рис.4.8.Траекторияполетакамня,брошенногоподуглом30градусовкгоризонтусначальнойвысоты1м,сначальнойскоростью20м/cек.

Рис.4.9.Графикизменениявовременивысотыполетакамня.