архив прош.сесий / архив прош.сесий / Statistichna_gipoteza_2014

1

Статистична перевірка статистичних гіпотез. Критерій узгодженості

Пірсона

При статистичному аналізі буває необхідним перевірити припущення

(гіпотезу) щодо величини параметрів або перевірити гіпотезу стосовно зако-

ну розподілу досліджуваної генеральної сукупності (чи сукупностей). Напри-

клад, дослідник висуває гіпотезу про те, що “вибірка вилучена з нормальної

генеральної сукупності” або “генеральні середні двох досліджуваних сукуп-

ностей мають однакове значення”.

Співставлення висунутої гіпотези щодо генеральної сукупності з вибір-

ковими даними, яке супроводжується кількісною оцінкою ступеня достові-

рності отримуваного результату і здійснюється за допомогою того чи ін-

шого статистичного критерію, називається перевіркою статистичних гі-

потез.

Висунута гіпотеза називається нульовою (основною). Її позначають H 0.

По відношенню до висунутої (основної) гіпотези завжди можна сформулюва-

ти альтернативну (конкуруючу), таку що їй суперечить. Альтернативну

(конкуруючу) гіпотезу позначають H1.

Мета статистичної перевірки гіпотез полягає в тому, щоб на основі вибіркових даних прийняти рішення про справедливість основної гіпотези

H 0.

Статистичні гіпотези поділяються на параметричні і непараметричні.

Параметричні гіпотези передбачають, що вигляд закону розподілу відомий і перевірка зводиться до перевірки значень невідомих параметрів.

За своїм змістом статистичні гіпотези поділяють на декілька основних типів:

-гіпотези про вид закону розподілу досліджуваної випадкової вели-

чини;

2

-гіпотези про числові значення параметрів досліджуваної генераль-

ної сукупності;

-гіпотези про рівність числових характеристик генеральних сукуп-

ностей; тощо.

Так як перевірка статистичних гіпотез здійснюється на підставі вибіркових даних, тобто обмеженого ряду спостережень, рішення відносно нульової гі-

потези H 0 мають ймовірнісний характер. Іншими словами, таке рішення не-

минуче супроводжується деякою, хоча можливо і дуже малою, ймовірністю помилкового висновку у той чи інший бік. Так, в якійсь незначній частці ви-

падків нульова гіпотеза H 0 може виявитись відхиленою, в той час як дійс-

но в генеральній сукупності вона є справедливою. Таку помилку називають

помилкою 1-го роду, а її ймовірність – рівнем значущості і позначають .

Навпаки, в якійсь невеликій частці випадків нульова гіпотеза H 0 прийма-

ється, в той час як насправді в генеральній сукупності вона помилкова, а

справедливою є альтернативна гіпотеза H1. . Таку помилку називають помил-

кою 2-го роду. Ймовірність помилки 2-го роду позначають . Ймовірність

(1 ) називають потужністю критерію.

При фіксованому об’ємі вибірки можна вибрати на свій розсуд величину ймовірності тільки однієї з помилок чи . Збільшення ймовірності однієї з них призводить до зменшення іншої. Прийнято задавати ймовірність помил-

ки 1-го роду - рівень значущості. Як правило, користуються деякими стан-

дартними значеннями рівня значущості : 0,1; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,001.

Тоді, очевидно, з двох критеріїв, які характеризуються однією і тією самою ймовірністю (відхилити правильну в дійсності гіпотезу H 0 ), слід прийняти той, якому відповідає менша помилка 2-го роду , тобто більша потужність.

Зниження ймовірностей обох помилок і можна досягти за рахунок збі-

льшення об’єму вибірки.

3

Правильне рішення щодо нульової гіпотези H 0 також може бути двох

видів:

-буде прийнята нульова гіпотеза H 0 , коли в генеральній сукупності правильною є нульова гіпотеза H 0 ; ймовірність такого рішення 1 -

;

-нульова гіпотеза H 0 буде відхилена на користь альтернативної H1 ,

коли в генеральній сукупності нульова гіпотеза H 0 відхиляється на користь альтернативної H1 ; ймовірність такого рішення 1- - по-

тужність критерію.

Результати рішення щодо нульової гіпотези можна проілюструвати за

допомогою наступної таблиці:

4

Перевірка статистичних гіпотез здійснюються за допомогою стати-

стичного критерію (назвемо його в загальному вигляді К), що є функцією від результатів спостереження.

Статистичний критерій – це правило (формула), за якою визнача-

ється міра розбіжності результатів вибіркового спостереження з висунутою гіпотезою H 0 .

Статистичний критерій, як і будь-яка функція від результатів спосте-

реження, є випадковою величиною і в припущенні щодо справедливості ну-

льової гіпотези H 0 підпорядкований деякому добре вивченому теоретичному закону розподілу з щільністю ймовірностей f k .

Вибір критерію для перевірки статистичних гіпотез можна здійснити на підставі різних принципів. Частіше для цього користуються принципом від-

ношення правдоподібності, який дозволяє побудувати критерій, найбільш потужний серед можливих критеріїв. Суть його зводиться до вибору такого

критерію K з відомою функцією щільності за умови справедливості гі-

потези H 0 , щоб при заданому рівні значущості можна було знайти критич-

ну точку Kкр розподілу f k , яка розділила б область значень критерію на дві частини: область допустимих значень, в якій результати вибіркового спосте-

реження виглядають найбільш правдоподібними, і критичну область, в якій результати вибіркового спостереження виглядають менш правдоподібними щодо нульової гіпотези H 0 .

Якщо такий критерій K вибраний, і відома щільність його розподілу,

то задача перевірки статистичної гіпотези зводиться до того, щоб при зада-

ному рівні значущості розрахувати за вибірковими даними спостереження значення критерію Kспост і визначити, чи є воно найбільш або найменш правдоподібним по відношенню до нульової гіпотези H 0 .

5

Перевірка кожного типу статистичних гіпотез здійснюється за допомо-

гою відповідного критерію, що є найбільш потужним у кожному конкретно-

му випадку. Наприклад, перевірку гіпотези про вигляд закону розподілу ви-

падкової величини можна здійснити за допомогою критерію згоди Пірсона

2 ; перевірка гіпотези про рівність невідомих значень дисперсій двох генера-

льних сукупностей – за допомогою критерію Фішера F ; ряд гіпотез про не-

відомі значення параметрів генеральних сукупностей перевіряються за допо-

могою критерію Z - нормально розподіленої випадкової величини та крите-

рію t - Стьюдента, тощо.

Значення критерію, що розраховується за спеціальними правилами на підставі вибіркових даних, називається спостережуваним значенням кри-

терію ( Kспост ).

Значення критерію, які розділяють сукупність значень критерію на об-

ласть допустимих значень (найбільш правдоподібних по відношенню до ну-

льової гіпотези H 0 ) та критичну область (область значень менш правдоподі-

бних по відношенню до нульової гіпотези H 0 ) і визначаються при заданому рівні значущості за таблицями розподілу випадкової величини K , вибра-

ної в якості критерію, називаються критичними точками ( Kкр ).

Областю допустимих значень (областю прийняття нульової гіпотези

H 0 ) називають сукупність значень критерію K , при яких нульова гіпотеза H 0

не відхиляється.

Критичною областю називають сукупність значень критерію K , при яких нульова гіпотеза H 0 відхиляється на користь конкуруючої H1 .

Розрізняють односторонню (правосторонню або лівосторонню) та дво-

сторонню критичні області.

6

Основний принцип перевірки статистичних гіпотез полягає в наступ-

ному:

-якщо спостережуване значення критерію ( Kспост ) належить критичній об-

ласті, то нульова гіпотеза H 0 відхиляється на користь конкуруючої H1 ;

- якщо спостережуване значення критерію ( Kспост ) належить області допус-

тимих значень, то нульова гіпотеза H 0 не відхиляється;

Можна прийняти рішення щодо нульової гіпотези H 0 шляхом порів-

няння спостережуваного ( Kспост ) та критичного значення критерію ( Kкр ).

При правосторонній конкуруючій гіпотезі:

-якщо Kспост Kкр , то нульову гіпотезу H 0 не відхиляють;

-якщо Kспост > Kкр , то нульову гіпотезу H 0 відхиляють на користь конкуру-

ючої H1 .

При лівосторонній конкуруючій гіпотезі:

- якщо Kспост Kкр , то нульову гіпотезу H 0 не відхиляють;

- якщо Kспост < Kкр , то нульову гіпотезу H 0 відхиляють на користь конкуруючої H1 .

При двосторонній конкуруючій гіпотезі:

- якщо Kкр Kспост Kкр , то нульову гіпотезу H 0 не відхиляють;

- якщо Kспост > Kкр або Kспост < Kкр , то нульову гіпотезу H 0 відхиляють на користь конкуруючої H1 .

Алгоритм перевірки статистичних гіпотез зводиться до наступного:

7

1)сформулювати нульову H 0 та альтернативну H1 гіпотези;

2)вибрати рівень значущості ;

3)у відповідності з видом висунутої нульової гіпотези H 0 обрати статис-

тичний критерій для її перевірки, тобто – спеціально підібрану випад-

кову величину К, точний або наближений розподіл якої наперед відо-

мий;

4)за таблицями розподілу випадкової величини К, обраної в якості стати-

стичного критерію, знайти критичне значення Kкр (критичну точку або точки);

5)на основі вибіркових даних за спеціальним алгоритмом обчислити спо-

стережуване значення критерію Kспост ;

6)за видом конкуруючої гіпотези H1 визначити тип критичної області;

7)визначити, в яку область (допустимих значень чи критичну) потрапляє спостережуване значення критерію Kспост , і в залежності від цього – прийняти рішення щодо нульової гіпотези H 0 .

Якщо навіть нульову гіпотезу H 0 не можна відхилити, то це ще не озна-

чає, що висловлене припущення про генеральну сукупність є єдиним підхо-

дящим, просто йому не протирічать отримані вибіркові дані; однак таку ж властивість разом з висунутою гіпотезою можуть мати й інші гіпотези.

Можна інтерпретувати результати перевірки нульової гіпотези наступним чином:

- якщо в результаті перевірки нульову гіпотезу H 0 не можна відхилити, то це означає, що отримані вибіркові дані не дозволяють з достатньою впевненістю відхилити нульову гіпотезу H 0 , ймовірність нульової гіпотези H 0 більша ,

а конкуруючої H1 - менша 1- ;

8

- якщо в результаті перевірки нульова гіпотеза H 0 відхиляється на користь

конкуруючої H1 , то отримані вибіркові дані не дозволяють з достатньою впевненістю прийняти нульову гіпотезу H 0 , ймовірність нульової гіпотези

розподіл з k m r 1 ступенями свободи, m - число інтервалів емпі-

ричного розподілу (варіаційного ряду); r - число параметрів теоретичного розподілу, обчислених за експериментальними даними.

Числа ni n wi та n pi називаються відповідно емпіричними та тео-

ретичними частотами.

Схема застосування критерію 2 :

9

1. Знайти міру розбіжності емпіричних та теоретичних частот 2 за фор-

2.Для обраного рівня значущості за таблицею 2 - розподілу (див. до-

даток 4) знаходять критичне значення 2 ;k з числом ступенів свободи k m r 1.

3.Якщо спостережуване значення 2 більше критичного, то гіпотезу H0

відхиляють, а якщо навпаки – гіпотеза H0 не протирічить дослідним

даним.

крайньому випадку 5 спостережень. Якщо в якомусь інтервалі число спосте-

режень ni 5, доцільно об’єднати сусідні інтервали, щоб в об’єднаних інтер-

валах n i було не менше 5.

Приклад 1. При рівні значущості 0.025 перевірити гіпотезу про

нормальний розподіл генеральної сукупності, якщо відомі емпіричні та тео-

ретичні частоти:

Розв’язування:

▼ Сформулюємо нульову та конкуруючу гіпотези згідно умові задачі.

10

H0 : X N( ; 2 ) - випадкова величина Х підкоряється нормальному закону розподілу з параметрами та 2 .

H1 : випадкова величина Х не підкоряється нормальному закону розпо-

ділу з параметрами та 2 .

В якості критерію для перевірки нульової гіпотези використаємо кри-

терій Пірсона 2 .

Знайдемо спостережуване значення ( 2 спост ):

Знайдемо критичне значення критерію ( 2 кр ) за таблицею розподілу 2

(див. додаток) за рівнем значущості та числом ступенів свободи k.

За умовою 0.025 ; число ступенів свободи знайдемо за формулою

k n l 1,

де k –кількість ступенів свободи; n – кількість груп вибірки; l- кількість невідомих параметрів передбачуваної моделі, що оцінюються за даними ви-

бірки.

За умовою задачі кількість груп вибірки n 6 , а число невідомих па-

раметрів нормального розподілу l 2 . Звідси k 6 2 1 3.

Знайдемо 2 кр за рівнем значущості 0.025 та числом ступенів сво-

боди k 3:

2 кр.( 0.025;k 3) 9.4 .