2.Моделиалгебраическихобъектов

Ваналоговойвычислительнойтехникесуществуетнесколькоспособовмоделированияобъектов,описываемыхсистемамиалгебраическихуравнений[22–25].Одинизних,наиболеераспространенный,сводитсякрешениюсистемыобыкновенныхдифференциальныхуравнений,установившеесярешениекоторойдаетрешениеалгебраическойзадачи.

Пустьбезинерционныйобъектописываетсясистемойуравнений

a₁₁x₁₊a_12x2+...+a_1nxn=b₁

a₂₁x₁₊a_22x2+...+a_2nxn=b₂

L

a_n1x₁₊a_n2x2+...+a_nnxn=b_n

Дляпостроениямоделиданногообъектаприменимметодсведениякэквивалентнойсистемедифференциальныхуравнений.

_{Введемследующуюсистемудифференциальныхуравнений:}

^dx_1+ax

_+ax

_+...+ax

_−b=0

_dt ^{111 122 1nn 1}

^dx_2+ax

_+ax

_+...+ax

_−b=0

_dt ^{211 222 2nn 2}

L

_dxn

_{ax ax ax b}

_dt⁺ⁿ¹¹⁺

_n22^+...+

_nnn⁻

_n⁼⁰

_{Кактольковсепроизводныезатухнут(}^dxi

dt

=0),получаемсигнал

^{решения{x}₁^,x₂^,...,x_n}^.

Дляэквивалентностиэтихдвухсистемуравненийдолжнообеспечиватьсязатухающеерешениесистемыдифференциальныхуравнений.Достаточнымусловием,обеспечивающимзатухающеерешение,являетсяположительнаяопределенностьматрицыкоэффициентовлинейнойсистемыуравнений.Этовозможно,в

_n

^{частности,приусловии,когдаa}ii^≥∑aij^,i≠j.

j=1

Пример2.1.

Найтирешениесистемылинейныхалгебраическихуравнений:

^4x1+2x2=14_.

^2x₁^+5x₂⁼⁻⁵

Перейдем к эквивалентной системе дифференциальныхуравнений:

^dx_1=14−4x

_−2x

_dt ^{1 2}

^dx_2=−5−2x

_−5x

_dt ^{1 2}

Структурнаясхемамоделиданнойсистемыприведенанарис.

2.1.Онапостроениасиспользованиемклассическихметодованалоговойвычислительнойтехники.Переходныйпроцессустановлениярешенияизображеннаэкраневиртуального

осциллографа(рис.2.2).

Рис.2.1.Структурнаясхемамоделисистемыдифференциальныхуравнений,

_{эквивалентнойсистемелинейныхалгебраическихуравненийвторогопорядка}

_{Нарис.2.2видно,чтопосле}

_t=2

_{навыходахвиртуальных}

интеграторовустанавливаютсясигналы,соответствующиерешениюсистемылинейныхалгебраическихуравнений:

x₁₌5,

^x₂^=−3.

Расширениеклассаалгебраическихобъектов,матрицакоэффициентовкоторыхимеетпроизвольныйвид,возможнопутемиспользованияметодовквазианалоговогомоделирования[22,23].Примерытакихметодовбудутрассмотреныпозднее.

Рис.2.2.Переходныйпроцессустановлениярешениясистемылинейныхалгебраическихуравненийпутемсведениякэквивалентнойдифференциальнойсистемеуравнений

Пример3.2.

Найтирешениесистемы:

5x₁₊2x₂₊x₃₌2,5

3x₁₊7x₂₊2x₃₌−1,5.

4x₁₊0,5x₂₊5x₃₌11,5

Модельсистемыирезультатыееработыпредставленынарис.

2.3,2.4соответственно.

Рис.2.3.Модельсистемылинейныхалгебраическихуравнений3порядка.

Решениесистемыуравнений,отображенноенацифровыхрегистраторах(Display1–Display3)равно:

x₁₌0,5x₂₌−1.x₃₌2

Рис.2.4.Переходныйпроцессустановлениярешениясистемыуравнений.

3.Аппроксимациясигналов

Вэтойразделерассмотримширокоизвестныйаппроксимационныйметоднаименьшихквадратовдляфункцииоднойпеременной,атакжеальтернативныйметод,которыйпозволяетснизитьвычислительныезатратыиупроститьреализациюнаПЭВМ–модифицированныйметодравныхплощадей.Вчастности,вSimulink-структураханализадинамическихсистемудобнееиспользоватьименнометодравныхплощадейблагодаряегопреимуществам.

_{Пустьнепрерывныйсигнал}

_x(t)

_{заданнанекотороминтервале}

_{измененияаргумента}

_v

[0,T].Выбираетсянекотораясистемафункций

_S={s(t)}ⁿ

_{,заданныхнатомжеинтервалеизмененияаргумента.Из}

k k=0

теорииаппроксимацииизвестно[6,18],чтосигналможетбытьпредставленнаопределенноминтервалеизмененияаргументаобобщеннымполиномом

_n

^{xa(t)=∑X(k)sk(t).}

^k=0

_{Систему коэффициентов}

(3.1)

_{X(k)обычно называют}

_{аппроксимирующимполиномиальнымспектром(АПС)сигналаx(t).}