5.10.Модельтранспортнойзадачилинейногопрограммирования

Частным,новесьмараспространеннымвидомзадачлинейногопрограммирования,являетсятранспортнаязадача.Классическаятранспортнаязадачалинейногопрограммированияпредусматриваетнахождениеоптимальногопланаперевозкиоднородногопродуктавтранспортнойсетимеждупунктамипроизводстваипотребленияпродукта,прикоторомминимизируетсястоимостьтранспортныхиздержекнаперевозку.Математическаямодельтранспортнойзадачиимеетследующийвид[8,10].Пустьимеютсяmпунктовпроизводства

однородногопродуктасобъемамипроизводства

a_i,i:=1,K,mиn

пунктовпотребленияэтогопродуктасобъемамипотребления

b_j,j:=1,K,n.Пунктыпроизводствасвязаныспунктамипотреблениятранспортнойсетью,образующей,вобщемслучаеmxnмаршрутовс

^{заданнымистоимостямиперевозкиединицыпродуктаc}_ij

помаршруту

_{i-j.Еслиобозначитьнеизвестныеобъемыперевозокпомаршрутуi-j}

как

^x_ij^{,математическаямодельтранспортнойзадачибудетиметьвид:}

_n

^{∑xij=ai,i:=1,K,m, (5.3)}

j=1

_m

^{∑xij=bj,j:=1,K,n, (5.4)}

i=1

x_ij≥0, (5.5)

_mn

^μ=∑∑cij^{⋅xij→min. (5.6)}

^i=1j=1

Выражение(5.3)являетсяусловиембалансаобъемовпроизводстваиперевозокпродукта.Аналогично,выражение(5.4)являтсяусловиембалансаобъемовперевозокипотребления.Условие(5.5)требуетнеотрицательностиперевозок(нецелесообразностьперевозокизпунктовпотреблениявпунктыпроизводства).Общиетранспортныеиздержки(стоимостьперевозки)определяетсявыражением(5.6)идолжнаминимизироватьсявыборомобъемовперевозокпоразличныммаршрутам.

Известнааналоговаяэлектрическаямодельтранспортнойзадачилинейногопрограммирования[10]ввидецепипостоянноготока,содержащейидеальныеисточникинапряжения,токаидиоды.Топологияцепиповторяеттопологиютранспортнойсети,моделямимаршрутовявляютсяветвицепиизпоследовательносоединенныхдиодовиисточниковнапряжения,источникитокаиспользуютсядлямоделированияпунктовпроизводстваипотребленияпродукта.Уравнения(5.3)и(5.4)воспроизводятсякакуравненияпервогозаконаКирхгофаэлектрическойцепи-модели,условиянеотрицательности(5.5)реализуютсяодностороннейпроводимостьюдиодов.Вцепиустанавливаетсятакоераспределениетоков,моделирующихобъемыперевозок,прикоторомминимальнамощность,рассеиваемаявмоделитранспортнойсети[7].Такимобразомреализуетсяминимумвыражения(5.6)иполучаетсяоптимальноерешениетранспортнойзадачи.

Дляпостроениявиртуальноймоделитранспортнойзадачивсредевизуальногопрограммированиянеобходимосконструироватьструктурныесхемыисточниковтока,моделирующихпунктыпроизводстваипотребленияпродукта,атакжеструктурнуюсхемумоделиветви.Далее,можноиспользуяэтиструктурныесхемывкачествеподсистем,синтезироватьструктурнуюсхемувиртуальноймоделитранспортнойзадачивцелом.

Структурнаясхемавиртуальноймоделипунктапроизводстваиегоизображениеввидеподсхемыпоказанынарис.5.9.

20

Constant1

s

+ 1

^- _Conn1 ^Conn1

ControlledCurrentSource1

_Subsystem1

Рис.5.9.Модельпунктапроизводства.

Схемасостоитизуправляемогоисточникатока(ControlledCurrentSource1)приложенияSimPowerSystems,значениетокакоторогозадаетсяблокомконстанты(Constant1)приложенияSimulink.Отрицательныйполюсисточникатоказаземлен,аположительныйподключенквыходномуполюсу(Conn1).Значениеконстанты,устанавливаемоевокнепараметровблокаConstant1,определяетсявеличинойобъемапроизводствапунктапроизводства,модельюкоторогоявляетсяSubsystem1.

Структурнаясхемавиртуальноймоделипунктапотреблениястроитсяаналогичноиприведенанарис.5.10.

11

+

s

₁ Constant _-

Conn1

Subsystem5

Conn1

ControlledCurrentSource

Рис.5.10.Модельпунктапотребления.

Структурнаясхемавиртуальноймоделиветвитранспортнойсетииееизображениеввидеподсхемыприведенынарис.5.11.

⁺_v

-

^{VoltageMeasurement}_Display1

1

Conn1

Diode

DCVoltageSource ⁱ

+

-

_{CurrentMeasurement}

1

Out1

2

Conn2

Conn1

Out1

Conn2

_Subsystem7

Рис.5.11.Модельветвитранспортнойсети.

Основумоделиветвисоставляютпоследовательноесоединениевиртуальногодиода(Diode)ивиртуальногоисточникаэлектродвижущейсилыпостоянноготока(DCVoltageSource).Анодвиртуальногодиодасоединенсвходнымполюсомвиртуальноймоделиветви(Conn1),аотрицательныйполюсвиртуальногоисточникаэ.д.с.черезвиртуальныйизмерительтока(CurrentMeasurement)соединенсвыходнымполюсоммоделиветви(Conn2).ВыходнойполюсOut1виртуальногоизмерителятокаформируетсигналстандартаSimulinkиможетподключатьсякцифровымрегистраторамэтогоприложениянепосредственноиличерезмультиплексорMux.Виртуальныйвольтметр,образованныйвиртуальнымизмерителемнапряженияVoltageMeasurementицифровымрегистраторомDisplay1,неявляютсяобязательнымиэлементамимоделиветвиипредназначеныдляоцениваниясостояниявиртуальногодиода(открытогоилизакрытого).Входныеполюсамоделейветвейтранспортнойсети(Conn1)подключаютсяквыходнымполюсам(Conn1)моделейпунктовпроизводства,авыходныеполюсамоделейветвейтранспортнойсети(Conn2)подключаютсяквходнымполюсам(Conn1)моделейпунктовпотребления.Порядокпостроенияструктурнойсхемывиртуальноймоделитранспортнойзадачирассмотримнапримере.

Пример5.5.Данаследующаятранспортнаязадачалинейногопрограммирования.Найтиоптимальныйвариантперевозкицемента,

производимогодвумяцементнымизаводаминатристройки,расположеннымивтомжерайоне.Производительностицеметныхзаводовсоставляютсоответственно200и100тоннвсутки.Потребностистроящихсяобъектовсоставляют110,140и50тоннвсутки.Стоимостиперевозки1тонныцементадлявозможных6маршрутоввусловныхединицахиобъемыцемента,подлежащегоперевозке,приведенывтаблице.

_{Таблица}

	Об-кт№1	Об-кт№2	Об-кт№3
З-д№1	30	10	30
З-д№2	30	50	60

Нарис.5.12приведенаструктурнаясхемавиртуальноймоделитранспортнойзадачи,построеннаяизэлементов,рассмотренныхвыше(рис.5.9–5.11).Виртуальныемоделизаводов№1и№2представленыэлементамиSubsystem1иSubsystem2.Виртуальныемоделистроительныхобъектов№1,№3,представленыэлементамиSubsystem5иSubsystem10.Таккакзадачаявляетсясбалансированной(суммарныйобъемпроизводствацементаравенсуммарнойпотребностистроительныхобъектов),моделиодногоизобъектоввоспроизводитьнетребуется.Внашемслучаевыбранобъект№2.Моделиразличныхмаршрутовпредставленынасхемеследующимиподсистемами:

Длязавода№1–Subsystem7,Subsystem3иSubsystem8,Длязавода№2–Subsystem4,Subsystem6иSubsystem9.Виртуальные токи, изображающие объемы перевозок в

оптимальномварианте,оцениваютсяцифровымрегистраторомDisplay1,накоторыйпоступаютсигналыотвиртуальныхмоделейветвейчерезмультиплексор.

ЗначенияобъемовпроизводстваипотребленияпродуктазадавалисьвокнахпараметровблоковConstantвиртуальныхмоделейпунктовпроизводстваипотребленияпродукта(Subsystem1,2,5,10)вмасштабе0.1.ВеличиныстоимостиперевозкиединицыпродуктапоразличныммаршрутамзадавалисьвокнахпараметровблоковDCVoltageSourceвиртуальныхмоделейветвейтранспортнойсети(Subsystem7,3,8,4,6,9)такжевмасштабе0.1.Результатымоделирования,приведенныенаэкранецифровогорегистратораимеютвид:

x₁₁₌1

x_21≈0

x₁₂₌14

x₂₂₌5

x₁₃₌10

x_23≈0

Continuouspowergui

Conn1

Out1

Conn1

Conn2

Out1

Conn1

Conn2

Subsystem1

Subsystem7

Subsystem3

Out1

Conn1

Conn2

Subsystem8

Out1

Conn1

Conn2

Out1

Conn1

Conn2

Conn1

Subsystem2

Subsystem4

Out1

Conn1

Conn2

Subsystem6

Subsystem9

1

14

10

-1.537e-008

5

-2.808e-009

Display1

Conn1

Subsystem5

Conn1

Subsystem10

Рис.5.12.Структурнаясхемамоделитранспортнойзадачи.