3.3.Блочно-импульснаяаппроксимация

Однойизнаиболеераспространенныхиудобныхдляприменениявзадачахобработкиимоделированиясигналовдинамическихсистемоказываетсябазиснаясистемаблочно-импульсныхфункций[21].Рассмотримблочно-импульснуюаппроксимациюинекоторыенеобходимыеоперациинадспектрами.

_{Пустьотрезок}

_[0,T]

_{разбитнаmравныхчастей,длиной}

h=T

m.Нарешеткеаргумента

^{ih}m

задаетсясистемабазисных

i=1

функций

v_i(t)=σ(t−(i−1)h)−σ(t−ih). (3.6)

Здесь

i=1,...,m;

^v_i^(t)

–прямоугольныеблочно-импульсные

_{функции;σ(t)–функцияединичногоскачка:}

⎨

_σ(t)=^⎧0,

_⎩^1,

еслиt<0,

еслиt≥0.

(3.7)

Аппроксимациясигналапосистемеблочно-импульсныхфункцийопределяетсяпоформулам(3.2)–(3.3)как

_где

x^~(t)=

_m

^∑

ⁱ⁼¹

X₀₍i)v_i(t),

(3.8)

_X(i)=¹

^{0 h}

ih

∫^{x(t)dt. (3.9)}

(i−1)h

Есликблочно-импульснымбазиснымфункциямдобавитькусочно-линейныефункции:

_{w(t)=⎛2t+1−2i⎞v(t),}

_(3.10)

_{i ⎜h ⎟i}

^{⎝ ⎠}

тоаппроксимациясигналапосистемелокально-импульсныхбазисныхфункцийпервогопорядкасущественноулучшитсяибудетопределятьсяпоформуле:

_m

^xa^(t)=∑(X0^(i)vi(t)+X1^(i)wi(t)).

i=1

(3.11)

Нарис.3.18,3.19представленыструктурныесхемымоделей,генерирующихблочно-импульсныебазисныефункциинулевогоипервогопорядков.

Рис.3.18.Структурнаясхема,генерирующаяблочно-импульсныефункциинулевогопорядка,играфикблочно-импульсныхфункций.

Рис.3.19.Структурнаясхема,генерирующаяблочно-импульсныефункциипервогопорядка,играфиккусочно-линейныхфункций.

Пример3.2.

Рассмотрим реализацию метода аппроксимации блочно-

импульснымифункцияминулевогоипервогопорядковвсреде

_{MATLAB/Simulink. В качестве примера используем сигнал}

_x(t)=cos2πt²

_{наинтервале[0,1],m=10.Структурнаясхемаанализа}

сигналарассматриваемымметодомпредставленанарис.3.20.

Назначениеблоковследующее:

−BFгенерируетсистемубазисныхфункций;

−X(t)генерируетанализируемыйсигнал;

−X₀,X_1рассчитываютэлементыспектра;

− Stepопределяетмоментзаписиспектраврабочуюобласть.Полученныйспектр,кромезаписи,выдаетсянадисплей.

V(t)W(t)

BF

x(t)

X0v(t)

X0

x(t)

X1w(t)

Step

X

ToWorkspace

x(t)

X(t)

X1

0

Display

Рис.3.20.Структурная-схемаанализасигналаблочно-импульснымметодом.

Структурнаясхема,представленнаянарис.3.21,восстанавливаетсигнал.Навходсхемыподаютсябазисныефункциииспектранализируемогосигнала,навыход–аппроксимациясигналапосоответствующемуметодуиисходныйсигнал.

x(t)

X0

X(t)

From

Workspace

Out1

BF

DotProduct2

Scope

Рис.3.21.СтруктурнаясхемасинтезасигналапометодуБИФ.

Навиртуальныйосциллографподаютсяисходныйивосстановленныйсигналы.Онипредставленынарис.3.22дляобоихметодовсоответственно.Изграфиковвидно,чтодажепринебольшомчислеподинтервалов(m)получаетсядовольноточнаяаппроксимациясигнала.Точностьможноповышать,разбиваяинтервалопределениясигналанабольшееколичествоподинтервалов.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

_-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис.3.22.Результатыаппроксимациисигнала.