3.1.Методнаименьшихквадратов

Задачаопределенияаппроксимирующегоспектраметодомнаименьшихквадратовформулируетсяследующимобразом[18,26]:

определитьсистемувеличин

_{функцииошибки}

X(k),минимизирующуюнорму

β(t)

β(t)=x_a(t)−x(t).

Вкачественормыошибкибудемиспользоватьусловие

_∫

₁^T

r(t)β²⁽t)dt=min,

^T₀

_гдеr(t)_{-весоваяфункция.}

_{ВекторАПСX={X(k)}}ⁿ

^v

k=0

_v

сигналанаходитсяпоформуле:

_r

^X=W−1⋅Q,

(3.2)

_v

гдеэлементыоперационныхматрицWиивектораQ

_{следующимобразом:}

вычисляются

T

^{wij=∫r(t)si−1(t)sj−1(t)dt,}

0

T

^{qi=∫r(t)si−1(t)x(t)dt,}

0

_{i,j=1,...,n+1.}

(3.3)

Рассмотримиспользованиеметоданаименьшихквадратовнапримере.

Пример3.1.

_{Необходимоаппроксимироватьметодомнаименьшихквадратов}

_сигнал

_x(t)=cosπt²

_{наинтервале[0,1].Вкачествебазисныхфункций}

взятьстепенныефункции5-гопорядка.

Структурныесхемыопределениякоэффициентовпоформулам

3.2-3.3представленынарис.3.1и3.2.

Рис.3.1.Структурнаясхемаопределениякоэффициентоваппроксимирующегополинома

ОсновусхемысоставляетподсхемаAnalysisMNK,котораявразвернутомвидеприведенанарис.3.1б.ВиртуальныеиндикаторыScopeиDisplay,показанныенаэтойподсхеме,неявляютсяобязательнымидляопределениякоэффициентоваппроксимирующегополинома,апредназначеныдляконтроляправильностипостроенияструктурнойсхемывпроцессеотладкивиртуальноймодели.

Рис.3.2.Рассчеткоэффициентовпометодунаименьшихквадратов.

Послерасчетакоэффициентовсигналвосстанавливаетсяпосхеме,приведеннойнарис.3.3.

Рис.3.3.Восстановлениесигналапонайденномуспектру

Результатыработымоделивыводятсянаэкранвиртуальногоосциллографа,иизображенынарис.3.4.

Рис.3.4.Исходныйсигналx(t)=cosπt^2иегоаппроксимацияпометодунаименьшихквадратов.

3.2.Модифицированныйметодравныхплощадей

Методравныхплощадейявляетсяболеепростымметодомаппроксимации,основанныйнаопределениикоэффициентоваппроксимирующегополинома,исходяизусловияравенстванулюинтеграловфункцийошибкиаппроксимациинанекоторойсистемеинтерваловизмененияаргумента.Идеяметодаравныхплощадей,какметодаручныхвычислений,приведенауМелентьеваП.В.[20],однако,какоперационныйметодонбылразвитвработеСимакЛ.А.[21,26].

Сутьмодифицированногометодаравныхплощадейзаключаетсявследующем.Интервализмененияаргументаtразбиваетсяна(n+1)необязательноравныхчастей(подинтервалов).Нарис.3.5представленывозможныетипысистемподинтервалов.Уравнениеаппроксимирующейкривойподбираетсятак,чтобыплощади,ограничиваемыеаппроксимируемойиаппроксимирующейфункциями,былиравнымеждусобойдлякаждогоучасткав

отдельности.Этоприводитксистемелинейныхалгебраическихуравнений,решениекоторойопределяетаппроксимирующийспектр.

Рис.3.5.Системыподинтерваловдляметодаравныхплощадей

Условияравенствауказанныхплощадей(интегралов)длянекоторойсистемылинейно-независимыхподинтерваловимеетвид:

⎡

^tl n

r(t)

X(k)s(t)−xt_⎤

t=0.

(3.4)

^{∫ ⎢∑}

m

^{t ⎣k=0}

^{k ()⎥d}

^⎦

Например, при выборе системы подинтервалов вида

_{iT v}

_{[0, ],}

n+1

^{i=1,...,n+1,(рис.3.5(а))матрицаWивекторQ}

вычисляются

поформулам:

w_ij=

q_i=

iT

n+1

∫^{r(t)sj−1(t)dt,}

0

iT

n+1

∫^r(t)x(t)dt,

0

(3.5)

i,j=1,...,n+1.

РассмотримреализациюмодифицированногометодаравныхплощадейвсредеMatLab/Simulink.Модель,описывающаямодифицированныйметодравныхплощадей,представленанарис.

3.6.

Рис.3.6.Структурнаясхемареализациимодифицированногометодаравныхплощадей

Основнойчастьюсхемыявляетсяблоканализа(Analysis).Еговходныепараметры–непрерывныйсигналx(t)исистемабазисных

_v

функций

S(t). На выходе находится дисплей, на котором

отображаетсяполученныйспектр,иблокToWorkspace,записывающийспектрврабочуюобласть.Рассмотримпримеризпредыдущегоподраздела.Необходимоопределить

_{аппроксимирующийспектрфункции}

_x(t)=Cos(πt²₎

_{наинтервале[0,}