13. Контрольные вопросы

1. Что называется угловым ускорением?

2. Что означают термины «равномерное вращение» и «равноускоренное вращение»?

3. Какую зависимость необходимо экспериментально исследовать в данной лабораторной работе?

4. Как узнать на основании измерений, проведённых в данной лабораторной работе, является ли вращение маятника равноускоренным или нет?

5. Как зависит от времени циклическая частота вращения маятника Обербека, если вращение – равноускоренное?

6. Как зависит от времени угловая координата маятника Обербека при его равноускоренном вращении?

7. Какие физические величины в данной работе измеряются прямым способом?

8. Каким образом в данной работе измеряется циклическая частота вращения маятника?

9. С какой целью один из опытов предлагается провести многократно?

10. Как в данной работе измеряется угловое ускорение маятника?

11. Что является основным источником погрешностей измерений в данной работе?

Работа 5. Проверка второго закона Ньютона

Н.В. Чербунина, А.Г. Рипп

Цель работы

Целью работы является экспериментальная проверка второго закона Ньютона с помощью машины Атвуда.

1. Машина Атвуда

Устройство машины Атвуда показано на рисунке 1.1. На вертикальной стойке закреплён в подшипнике блок, так что он может вращаться вокруг своей оси. На блок повешена нить, к концам которой прикреплены два одинаковых груза (груз 1игруз 2). На один из грузов можно положить дополнительный груз (перегрузок), масса которогоmзначительно меньше массыm₀каждого из грузов. На стойке закреплена линейка, позволяющая измерять координаты грузов и пройденный ими путь.

2. Краткая теория

Без перегрузка система уравновешена. Это значит, что если не толкать грузы или блок, то все части машины Атвуда будут неподвижны. Перегрузок нарушает равновесие, в результате чего грузы начинают двигаться (один – вверх, другой – вниз), а блок начинает вращаться. Характер движения грузов и блока можно выяснить, используя законы динамики. Главный из них – второй закон Ньютона. Он состоит в том, что силы, действующие на материальный объект, влияют на скорость его движения𝑣, изменяя её. При этом быстрота изменения скорости, то есть ускорение, зависит от внешних сил следующим образом:

, (2.1)

где F_i– внешние силы, действующие на объект,m– масса объекта. Сумму внешних силFназываютравнодействующейсилой.

Есть ещё одна формулировка второго закона Ньютона:

, (2.2)

где p– импульс объекта. Врелятивистскоймеханике, то есть при скоростях объекта, сравнимых со скоростью света, правильной является только вторая формулировка, то есть формула (2.2). В нерелятивистской (классической) механике обе формулировки считаются эквивалентными, иначе говоря, вытекающими друг из друга. При этом в большинстве случаев используется первая формулировка, то есть (2.1). Грузы в машине Атвуда двигаются со скоростями, на много порядков меньшими, чем скорость света, поэтому для них применима классическая механика.

Рассмотрим, что даёт применение второго закона Ньютона к отдельным элементам машины Атвуда. Этих элементов три: груз 1, груз 2 с перегрузком и блок.

Груз 1. На него действуют две противоположно направленные силы: сила натяжения нитиT₁и сила тяжестиG₁=m₀g. – см. рисунок 2.1. В результате груз движется вверх с ускорениемa₁. Запишем второй закон Ньютона.

. (2.3)

Перейдём от векторов к числам, для чего запишем уравнение (2.3) в проекциях на вертикальную ось OX.

. (2.4)

Груз 2. На него тоже действуют две противоположно направленные силы: сила натяжения нитиT₂и сила тяжестиG₂= (m₀+m)g. В результате груз движется вниз с ускорениемa₂. Запишем для этого груза второй закон Ньютона.

. (2.5)

В проекциях на OXуравнение (2.5) имеет вид:

. (2.6)

Блок. На него действуют три вертикально направленные силы: силы натяжения нитейT'₁иT'₂и сила реакции опорыR, действующая со стороны подшипника. Блок никуда не движется, его движение – вращательное. Поэтому, во-первых, скорость и ускорение его центра масс равны нулю, так что применение к блоку второго закона Ньютона приводит к выводу, что сумма сил (T'₁+T'₂+R) равна нулю, так что сила реакции компенсирует силы натяжения. Во-вторых, блок вращается с угловым ускорением, найти которое можно, применив основной закон динамикивращательногодвижения. Изучение этого закона не входит в задачи данной лабораторной работы, поэтому отметим без доказательства, что применение основного закона динамики вращательного движения клёгкомублоку, масса которого значительно меньше массы грузов, приводит к выводу:

. (2.7)

С другой стороны, каждая нить тянет оба своих конца с одной и той жесилой, так что

. (2.8)

Из (2.7) и (2.8) следует, что

. (2.9)

Учтём ещё, что грузы двигаются хотя и в разные стороны, но с одной и той же скоростью 𝑣и, значит, с одним и тем же ускорениемa, так что

. (2.10)

В результате уравнения (2.4) и (2.6) можно записать в виде следующей системы:

(2.11)

В этой системе уравнений две неизвестные: ускорение грузов aи сила натяженияT₁. Решая систему, получим:

. (2.12)

Так как масса перегрузка mна порядок меньше массы каждого из грузов, то в знаменателе формулы (2.12) можно отбросить малое слагаемоеm, и тогда получится следующий результат.

. (2.13)

Согласно этой формуле, ускорение движения грузов aпрямо пропорциональномассе перегрузкаmиобратно пропорциональномассе грузов 2m₀. Этот факт можно проверить экспериментально. В данной лабораторной работе предлагается исследовать зависимость ускорения движения грузовaот массы перегрузкаm. Если экспериментальная зависимостьa(m) окажется действительно прямо пропорциональной, то это будет косвенным подтверждением второго закона Ньютона, так как вывод формулы (2.13) основан именно на втором законе Ньютона. Критерием того, чтоaпрямо пропорциональноm, является график зависимостиa(m):прямая линия, проходящая через начало координат. Таким образом, надо провести серию измерений ускорения грузов при разных значенияхm, а затем построить график экспериментальной зависимостиa(m). Если на этом графике экспериментальные точки выстроятся вдоль прямой линии, проходящей через начало координат, то это и будет подтверждением формулы (2.11). Заметьте: утверждение, что экспериментальные точки лежат на прямой линии, надо пониматьне буквально. Считается, что экспериментальные точки лежат на прямой линии, если на графике можно провести прямую линию, которая пересечёт планки погрешностей всех этих точек.

Теперь надо выбрать способ измерения массы перегрузка mи ускорения грузовa.

Перегрузок состоит из одного или нескольких элементарных грузов. Масса каждого элементарного груза уже измерена и написана на нём.

Для измерения ускорения можно воспользоваться уравнением кинематики равноускоренного движения материальной точки:

, (2.14)

где S– путь, пройденный за времяtточкой, которая движется равноускоренно с ускорениемa. Если измерять время паденияtгруза 2 с заданной высотыhна лабораторный стол, тоS=hи тогда из (2.14) следует:

. (2.15)

Эта формула и определяет способ косвенного измерения ускорения грузов a.

Если опыты будут успешными и в итоге удастся провести по экспериментальным точкам⁶прямую линию, то можно будет получитьдополнительнуюинформацию: измерить массу грузаm₀. Для этого достаточно взять на прямой любую точку – не экспериментальную, алюбуюточку,принадлежащуюпроведённой экспериментальной прямой, измерить её координаты (m;a) и затем, использовав формулу (2.13), определить значениеm₀. Масса груза указана на нём: 100 г. Поэтому измерение массы груза и сравнение результата с числом 100 г является дополнительным способом экспериментальной проверки теоретической формулы (2.13).