2. Описание экспериментальной установки

Схема экспериментальной установки показана на рисунке 2.1.

Установка состоит из следующих элементов.

• Столик в виде диска с вертикальной ножкой. Ножка столика укреплена в опорном подшипнике (подпятнике), в котором она может свободно вращаться вокруг вертикальной оси.

• На столик в нужном для экспериментатора месте кладётся и закрепляется исследуемый образец. В данной лабораторной работе образец имеет форму цилиндра. На образце написана его масса m. Для закрепления образца к нему внизу вдоль его оси прикреплён винт, а по всей площади столика просверлены отверстия с резьбой, куда можно вставлять и прикручивать винт образца. Одно из отверстий просверлено вдоль оси столика. Это, во-первых, позволяет измерять расстояние между главной осью образца и осью вращения столика, а во-вторых, позволяет, в частности, вращать образец вокруг его главной оси.

• Для того чтобы привести столик во вращение, на его ножку одета и закреплена катушка, на которой намотан шнур. Этот шнур с другой стороны переброшен через блок, и к концу шнура прикреплён груз массой m_г. Под действием силы тяжести груз опускается и натягивает шнур. Шнур раскручивает катушку, в результате крутится и столик.

• Для измерения углового ускорения столика надо измерять путь, который проходит опускающийся груз за определённое время. Этот путь можно измерить с помощью вертикально установленной линейки.

3. Методика эксперимента

Главной задачей лабораторной работы является проверка теоремы Штейнера, которая выражается уравнением (1.4)

.

Рассмотрим, как можно измерить величины, входящие в это уравнение.

1. Расстояние bмежду осямиOиAможно измерить прямым способом – линейкой. Массу образцаm измерять не надо – она уже измерена изготовителем и написана на образце.

Для измерения момента инерции образца предлагается измерять его угловое ускорение , а затем использовать уравнение моментов (1.5).

2. Измерение углового ускорения . Образец вращается вместе со столиком, так что угловое ускорение образца – это угловое ускорение системы столик-катушка-образец. Угловое ускорение катушки связано с тангенциальным ускорением точек на вращающейся поверхности катушкиa_соотношением

, (3.1)

где R_к– радиус катушки. Считая шнур нерастяжимым, можно утверждать, что точки размотанной части шнура движутся с той же скоростью, что и точки намотанной части. Поэтому у них одно и то же тангенциальное ускорение. Точки размотанной части шнура движутся прямолинейно, поэтому их тангенциальное ускорениеa_равно полному ускорениюa, так что

. (3.2)

Ускорение a, с которым движутся точки размотанной части шнура, равно ускорению груза, поэтому формулу (3.2) можно понимать как формулу, связывающую угловое ускорение образцаи линейное ускорение грузаa.

3. Измерение ускорения груза a. Будем считать, что груз движется равноускоренно, то есть значение его ускоренияaв процессе движения не изменяется. Тогда от начала движения груз за времяtопустится на расстояние, поэтому, измерив линейкой расстояниеh, можно узнать ускорение груза по формуле

. (3.3)

4. Измерение момента силы натяжения шнура. В уравнение моментов (1.5) входит сумма проекций моментов сил, приводящих тело во вращательное движение. В экспериментальной установке вращение создаётся единственной силой: это – сила натяжения шнура T₂, действующая на катушку. Момент этой силыM_тнаправлен вдоль оси вращения катушки, поэтому проекция момента на ось вращения равна его модулюM_т. По определению, модуль момента силы равен произведению силы на плечо силы²⁷. Плечом силыT₂является радиус катушкиR_к, поэтому

. (3.4)

Радиус катушки можно измерить прямым способом – с помощью штангенциркуля. Как измерить силу натяжения шнура, написано в следующем пункте.

5. Измерение силы натяжения шнура. Сила натяжения шнура в его горизонтальной части T₂меньше, чем сила натяжения в вертикальной частиT₁, однако разница между ними тем меньше, чем легче блок и чем меньше его момент инерцииI_Б. При условии, что, гдеR_Б– радиус блока, можно пренебречь разницей междуT₂иT₁и считать, что

. (3.5)

Данное условие в данной экспериментальной установке выполняется. Поэтому для нахождения силы натяжения можно рассматривать вертикальный участок шнура и прикреплённый к нему груз. Движение определяется вторым законом Ньютона:

, (3.6)

где G– сила тяжести, действующая на груз. Перейдём от векторов к числам. Для этого запишем уравнение (3.6) в проекциях на вертикальную осьOX.

, (3.6)

откуда следует, что

. (3.7)

Масса груза измерена изготовителем и написана на грузе, а как измерить ускорение a, описано в пункте 3.3.

6. Измерение момента инерции. Как указывалось выше, для нахождения момента инерции образца можно использовать уравнение моментов (1.5). Удобно, однако, применить это уравнение не к образцу, а к системе столик-катушка-образец. В этом случае сумма проекций моментов сил равна моменту силы натяжения шнура M_т, а знаменатель уравнения – это полный момент инерции системы I_п, равный сумме момента инерции образцаIи момента инерции столика с катушкойI_с. Таким образом,

, (3.8)

откуда следует:

. (3.9)

Как измерить угловое ускорение и момент силы натяженияM_т, описано в пунктах 3.2 и 3.4. Измерить момент инерции столика с катушкойI_сможно, если снять со столика образец. В этом случае

. (3.10)

Подстановка в (3.9) и (3.10) формул (3.4), (3.7), (3.2) и (3.3) даёт следующие две формулы, определяющие способ измерения момента инерции столика с катушкой и момента инерции образца:

, (3.11)

. (3.12)

7. Измерение главного момента инерции образца I₀. Это можно сделать двумя способами. Во-первых, можно установить образец в центре столика – тогда измерение момента инерции образца как раз и даст значениеI₀. Второй способ основан на том, что образец имеет цилиндрическую форму. При этом, согласно таблице 1.1,

. (3.13)

Как указано выше, масса образца mна нём написана, радиус образцаRможно измерить штангенциркулем. Целесообразно измерить главный момент инерции образцаI₀как первым, так и вторым способами. Если результаты измерений совпадут, то это будет свидетельствовать о том, что метод измерения момента инерции, используемый для проверки теоремы Штейнера, является правильным.

8. Проверка теоремы Штейнера. Теорема утверждает, что момент инерции образца Iи расстояние между осямиbсвязаны квадратичной зависимостью. Убедиться, что это так, можно методом линеаризации. Для этого введём вспомогательную величину. Тогда из (1.4) следует:

. (3.12)

Зависимость I(z) – линейная, и графиком этой зависимости является прямая линия. Поэтому надо провести серию измерений момента инерции образца при различных значенияхb, а затем на основании полученных результатов построить график зависимостиI(z). Если экспериментальные точки на графике выстроятся вдоль прямой линии, то это и будет подтверждением теоремы Штейнера.