21. Оценка погрешностей измерений

1. Погрешности прямыхизмерений.

Прямым способом в данной лабораторной работе измеряются пять величины: радиус барабана R, высота привескиd, расстояниеS, высота подъёма грузаhи время падения груза на лабораторный столt.

Радиус барабана, высота привески и расстояние Sизмеряются штангенциркулем с классом точности 0,1 мм. Это значит, что(R) =(d) =(S) = 0,1 мм.

Высота подъёма груза измеряется линейкой с ценой деления 1 см, так что (h) = 1 см.

Время падения груза измеряется цифровым секундомером, встроенным в мобильный телефон. Класс точности секундомера зависит от марки телефона, обычно он равен 0,1 с. В этом случае приборная погрешность измерения времени равна _п(t) = 0,1 с. Однако при измерении времени следует учитывать ещё случайную погрешность_с(t), связанную с несовершенством реакции экспериментатора. Она составляет примерно (0,1 – 0,3) с. Поэтому рекомендуется принять(t) = 0,2 с.

2. Погрешность величины E. Требуется для построения графика зависимости. ВеличинаEизмеряется косвенно, в основе метода измерения лежит формулаи формулы (2.5) и (2.7):

.

При этом относительные погрешности равны:

, (4.1)

откуда следует, что

. (4.2)

3. Погрешность момента инерции привесок I_п. Требуется для построения графика зависимости. ВеличинаI_пизмеряется косвенно, в основе метода измерения лежит формула (2.8):

.

Из этой формулы следует, что относительная погрешность равна

, (4.3)

откуда

. (4.4)

Масса привески m₁указана на привеске с точностью до граммов, поэтому(m₁) = 1 г.

Значение rизмеряется косвенно, в основе метода измерения лежит формула (3.1):

,

где D= 2R– диаметр барабана.

Размеры S,Dиdизмеряются штангенциркулем с классом точности 0,1 мм. Следовательно,(S) =(D) =(d)= 0,1 мм и тогда

.

22. Контрольные вопросы

1. В чём состоит основной закон динамики вращательного движения?

2. Как записывают основной закон динамики вращательного движения, если его применяют для твёрдого тела с закреплённой осью вращения?

3. Что называется моментом силы?

4. Что называется моментом инерции тела?

5. Какую зависимость необходимо экспериментально исследовать в данной лабораторной работе?

6. Откуда следует формула (2.3)?

7. Что называется угловым ускорением?

8. Каким образом в данной работе измеряется угловое ускорение маятника Обербека?

9. Каким образом в данной работе измеряется момент инерции привесок?

10. Что необходимо изменять при переходе от одного опыта к другому?

11. Что означает термин «линеаризация» и для чего нужна линеаризация?

12. Каким образом в данной работе измеряется момент инерции основной части маятника?

13. Зачем нужно, чтобы все привески всегда были на одном и том же расстоянии от оси?

14. Какая из величин, измеряемых в данной работе прямым способом, обладает наибольшей погрешностью и почему?

Работа 13. Исследование прецессии гироскопа

П.В. Потапков, И.И. Марончук, А.Г. Рипп

Цель работы

Целью данной лабораторной работы является наблюдение явления вынужденной прецессии гироскопа, исследование зависимости частоты прецессии от момента внешних сил и от частоты вращения маховика гироскопа.

1. Краткая теория.

1. Гироскоп и его свойства

Гироскоп – это быстро вращающееся твёрдое тело, ось вращения которого не фиксирована, а может свободно изменять своё направление в пространстве, то есть поворачиваться. Одна из точек оси вращения обычно закреплена. Эту точку называют точкой опоры гироскопа. Главная особенность гироскопа состоит в том, что для поворота его оси вращения требуется очень большое внешнее воздействие. Иными словами, направление заданной изначально оси вращения гироскопа обладает высокой устойчивостью.

Наибольшее значение в науке и технике имеют симметричныегороскопы. Они обладают геометрической осью симметрии, и их приводят во вращение именно вокруг этой оси.

Теория гироскопов основана на уравнении моментов. Его ещё называютосновным законом динамики вращательного движения. Этот закон состоит в том, что моменты внешних силM_i, действующие на механическую систему, приводят к изменению момента импульса системыL²⁰. При этом скорость изменения момента импульса равна суммарному моменту внешних сил:

. (1.1)

Если твёрдое тело вращается вокруг неподвижной (фиксированной) оси с угловой скоростью , то оказывается, что его момент импульсаLпараллелен векторуи, более того, связан с ним формулой

, (1.2)

где I– момент инерции тела относительно оси вращения²¹. При этом оба вектораLинаправлены вдоль оси вращения. Ось вращения гироскопане фиксирована, поэтому связь междуLинемного иная. Выясним её. Как известно, всякий вектор можно представить в виде суммы двух взаимно перпендикулярных векторов²². Векторможно разложить на следующие составляющие:_, направленную вдоль оси симметрии гироскопа, и_, направленную перпендикулярно оси симметрии,

, (1.3)

При этом оказывается, что

, (1.4)

где I_– момент инерции гироскопа относительно его оси симметрии,I_– момент инерции гироскопа относительно оси, перпендикулярной оси симметрии.²³Так какI_иI_обычно не равны друг другу, то в общем случаеL,и ось вращения направленыпо-разному. Как отмечалось выше, гироскоп первоначально раскручивают вокруг его оси симметрии. Поэтому в начальном состоянии

. (1.5)

Таким образом, в начальном состоянии L,и ось вращения направлены одинаково. Однако с течением времени эта параллельность может нарушиться, так как согласно уравнению моментов (1.1) моменты внешних сил изменяют момент импульса гироскопа, что, в свою очередь, приводит к изменению угловой скорости. В чём состоит это изменение и нарушается ли при этом параллельность междуL,и осью вращения, зависит от конкретного устройства гироскопа и от сил, создающих моменты.

5. Прецессия гироскопа

Рассмотрим гироскоп, состоящий из лёгкого стержня, на котором надеты диск-маховик M, масса которого много больше массы стержня, и цилиндрический противовесР(рисунок 1.1). Маховик соединён со стержнем с помощью подшипника, поэтому он может вращаться вокруг стержня. Противовес вокруг стержня не вращается, но его можно перемещать вдоль стержня и закреплять в любой точкеO₂. В точкеO₁стержень гироскопа шарнирно закреплен с вертикальной подставкойS, так чтоO₁являетсяточкой опорыгироскопа. ОсьO_s– этоось симметриигироскопа.

Рассмотрим поведение гироскопа.

Так как маховик вращается, он обладает моментом импульса L– см. рисунок 1.2. Внешние силы, которые могут изменить момент импульса, это – силы тяжести, действующие на маховик массойm_и противовес массойm_²⁴.

. (1.6)

Линии, вдоль которых действуют силы G_иG_, не проходят через ось вращенияO_, поэтому эти силы создают моменты сил:

. (1.7)

Момент M_вызывает вращение гироскопа против часовой стрелки, следовательно, он направлен к наблюдателю (это показано точкой), МоментM_вызывает вращение по часовой стрелки, следовательно, он направлен от наблюдателя (показано крестиком). Таким образом, векторыM_иM_антипараллельны.

Если противовес установлен так, что модули этих векторов одинаковы, то есть , тои тогда суммарный момент сил, действующих на гироскоп, равен нулю. При этом ось гироскопа будет сохранять горизонтальное положение независимо от того, вращается маховик или нет. Если, то поведение гироскопа зависит от того, вращается маховик или нет. В случае, когда маховик не вращается, гироскоп под действием момента силбудет вести себя привычно: он будет поворачиваться по часовой стрелке или против часовой стрелки в зависимости от того, какой из моментов сил больше. Если же маховик вращается, то движение гироскопа необычно: его ось симметрииO_sбудет оставаться горизонтальной, но при этом будет поворачиваться в горизонтальной плоскости. Это вращение называетсявынужденной прецессией.

Выясним причину этого явления и определим, от чего и как зависит частота прецессии.

На рисунке 1.3 показан вид на гироскоп сверху. Будем для определённости считать, что , так что суммарный момент сил на рисунке 1.2 направлен от наблюдателя, а на рисунке 1.3 – вверх.

Пусть в начальный момент времени (в момент установки и закрепления противовеса) маховик вращается с угловой скоростью (0). При этом он (и весь гироскоп в целом) обладает моментом импульсаL(0). Согласно (1.5), и начальный момент импульса направлен так же, как и угловая скорость, то есть вдоль оси симметрии гироскопа. Из уравнения моментов следует, что за малое времяdt момент силы M изменит момент импульса гироскопа на . Так как , то и. Поэтому векторLпо величине не изменяется, а только поворачивается на малый уголd. Из (1.5) следует, что

. (1.8)

Так как , то. По определению, вектор_перпендикулярен оси гироскопа, поэтому в (1.8) два вектораd_иdL имеют одно и то же направление. Следовательно, такое же направление имеет и вектор d₀. Это значит, чтоd₀ ₀, то есть вектор₀не изменяется по величине, а только поворачивается – так же, как и вектор момента импульсаL.

Итак, во-первых, скорость вращения гироскопа вокруг его оси ₀сохраняется неизменной. Во-вторых, по определению, вектор₀направленвдоль оси вращения, поэтому поворот вектора₀означает поворот оси симметрии гироскопаO_s.

Из (1.5) следует, что с течением времени у вектора Lпоявляется составляющая, перпендикулярная оси вращения, однако, если начальная скорость вращения гироскопа₀достаточно велика, то. Поэтому можно в первом приближении отбросить в (1.5) второе слагаемое и утверждать, что не только в начальный, но и в любой момент времени

. (1.9)

Это означает, что векторы L,₀и ось вращения параллельны не только в начальный момент, но и остаются параллельными через времяdt, повернувшись все вместе на уголd. За следующий промежуток времени происходит то же самое и так далее. Получается, чтовекторы L, ₀и ось вращения постоянно все вместе вращаются в горизонтальной плоскости. А это и есть прецессия.

Определим теперь скорость прецессии. Для этого достаточно определить скорость вращения вектора L. Из рисунка 1.3 следует:

.

Итак, формула для частоты прецессии:

, (1.10)

где, согласно (1.7),

. (1.11)

Как показывает формула (1.10), частота прецессии прямо пропорциональна суммарному моменту внешних силиобратно пропорциональна частоте вращения маховика. Экспериментальная проверка этого факта – это и есть цель лабораторной работы.

Примечание.

Нетрудно догадаться, что частота прецессии – это_. Вектор=_направлен перпендикулярно оси гироскопа вдоль оси вертикальной подставкиSи, как следует из (1.10) – (1.11), остаётся неизменным до тех пор, пока не изменяется положение противовеса. Теперь от приближённой формулы (1.9) можно вернуться к точной (1.5):

, (1.12)

Таким образом, между вектором момента импульса и осью гироскопа есть некоторый угол , тангенс которого с учётом (1.10) – (1.11) равен

. (1.13)

Из этой формулы видно, во-первых, что при достаточно большой частоте вращения гироскопа ω₀угол– очень маленький, а в-вторых, с течением времени уголне изменяется, так что даже с учётом того, чтоLи ось гироскопа не совсем параллельны, они всё равно прецессируют с одинаковой скоростью, то есть формула (1.10) – правильная.

6. Методика экспериментов

Для того чтобы убедиться в том, что частота прецессии прямо пропорциональна суммарному моменту внешних силM, нужно сделать следующее.

• Снять экспериментальную зависимость (M), то есть провести серию измерений частоты прецессии при разных значенияхM.

• Построить график экспериментальной зависимости (M), то есть нанести на график в координатах (M;) результаты экспериментов в виде экспериментальных точек.

Графиком прямо пропорциональной зависимости является прямаялиния, проходящая через начало координат. Поэтому если через экспериментальные точки (точнее, через их планки погрешностей) можно будет провести такую прямую линию, то данный факт как раз и будет экспериментальным подтверждением прямо пропорциональной зависимостиотM.

Убедиться в том, что частота прецессии обратно пропорциональна частоте вращения маховика₀, несколько сложнее. Дело в том, что графиком обратно пропорциональной зависимости является не прямая линия, а гипербола первого порядка. Прямую линию можно провести по линейке, но как провести гиперболу первого порядка? – Это можно сделать с помощью какой-либо компьютерной программы (например,EXCEL). Но можно просто обойти эту проблему, применивметод линеаризации. Он состоит в том, что от величин, связанных нелинейной зависимостью, переходят к другим величинам, связь между которыми линейная, то есть графиком зависимости этих новых величин друг от друга является прямая линия. В данном случае достаточно перейти от частоты вращения маховика₀к величине. Из формулы (1.10) следует, что

, (1.14)

так что зависит отuпрямо пропорционально и графиком этой зависимости является прямая линия.

Итак, для того, чтобы убедиться в том, что частота прецессии обратно пропорциональна частоте вращения маховика₀, нужно сделать следующее.

• Снять экспериментальную зависимость (₀), то есть провести серию измерений частоты прецессии при разных значениях₀.

• Определить для каждого эксперимента значение uпо формуле.

• Построить график экспериментальной зависимости (u), то есть нанести на график в координатах (u;) результаты экспериментов в виде экспериментальных точек.

Если через экспериментальные точки (точнее, через их планки погрешностей) можно будет провести прямую линию, проходящую через начало координат, то данный факт как раз и будет экспериментальным подтверждением прямо пропорциональной зависимости отuи обратно пропорциональной зависимостиот₀.

Разумеется, вы можете и не использовать метод линеаризации, если с помощью какой-нибудь компьютерной программы сможете на графике экспериментальной зависимости (₀) провести через планки погрешностей экспериментальных точек гиперболу первого порядка и при этом узнать уравнение этой гиперболы (вEXCELэто уравнение называется уравнением тренда).