Силы тяготения. Гравитационное поле.

1. Закон всемирного тяготения:

F=,

где F– сила всемирного тяготения двух тел;

Мит– массы тел;

r– расстояние между центрами масс тел;

= 6,67210^–11– гравитационная постоянная.

2. Напряжённость гравитационного поля

Q= ,

где F– сила тяготения, действующая на помещённую в поле материальную точку массойт;

Если гравитационное поле создаётся телом со сферически симметричным распределением плотности или материальной точкой, то

Q=,

где r– расстояние тела до точки, в которой ищется напряжённость.

3. Ускорение свободного падения gна высотеhнад поверхностью Земли определяется выражением

g= ,

где R₃– радиус Земли.

Если h<<R₃, тоg g₀.

4. Работа сил гравитационного поля при сближении двух взаимодействующих материальных точек выражается формулой

А=Мт,

где r₁>r₂– начальное и конечное расстояние между точками.

5. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек всегда отрицательна и определяется формулой

П= –.

6. Работа сил гравитационного поля при сближении двух материальных точек равна уменьшению потенциальной энергии тяготения

А= –П= – (П₂–П₁) =П₁–П₂.

7. Потенциал гравитационного поля

 = .

При сферической симметрии плотности тела = –.

8. Работа сил гравитационного поля при перемещении материальной точки массой тиз точки поля с потенциалом₁в точку с потенциалом₂

А=т(₁–₂).

9. Если тело массы тдвигается в поле тяготения небесного тела массыМ, то полная кинетическая энергияЕтела равна сумме его кинетической и потенциальной энергий

Е=,

где М– масса планеты;

r– расстояние от тела до центра планеты.

Примеры решения задач

Пример 1.1. Уравнение движения точки по прямой имеет вид

х= 4 + 2t+ 0,14t ²+ 0,01t ³м.

Найти: 1) положение точки в моменты времени t₁= 2cиt₂= 5c; 2) среднюю скорость за время, протекшее между этими моментами; 3) мгновенные скорости в указанные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток времени; 5) мгновение ускорения в моменты времениt₁иt₂.

х= 4 + 2t+ 0,14t ²+ 0,01t ³

t₁ = 2 c

t₂ = 5 c

1)х (t₁) = ?х (t₂) = ? 2) <> = ?

3)  (t₁) = ?  (t₂) = ? 4) < a > = ? 5) a (t₁) = ? a (t₂) = ?

Решение.

1. Положение точки, движущейся прямолинейно, в некоторый момент времени tопределяется расстояниемx(t) точки от начала отсчёта.

В уравнение движения х=f(t) подставим вместоtзаданное значение времени и найдём положение точки.

х₁=f (t₁) = 4 + 22 + 0,142²+ 0,012³= 8,64 (м),

х₂=f (t₂) = 4 + 25 + 0,145²+ 0,015³= 18,75(м),

2. Средняя скорость < > =,

где х– изменение расстоянияхза промежуток времени,t=t₂–t₁.

х=x₁–x₂= 18,75 – 8,64 = 10,11(м)

t= 5 – 2 = 3(с)

< > == 3,37(м/с).

3. Общее выражение мгновенной скорости найдём, продифференцировав по времени уравнение движения.

 = (4 + 2t + 0,14t ² + 0,01t ³) = 2 + 0,28t + 0,03t ².

Подставим вместоtзаданное значение времени, получим:

₁=(t₁) = 2 + 0,282 + 0,032²= 2,68(м/с),

₂=(t₂) = 2 + 0,285 + 0,035²= 4,15(м/с).

4. Среднее ускорение: < а > =

 = ₂–₁= 4,15 – 2,68 = 1,47(м/с)

t=t₂–t₁= 5 – 2 = 3(с)

< а > == 0,49(м/c²).

5. Общее выражение мгновенного ускорения аполучим, если продифференцируем по времени общее выражение мгновенной скорости.

а==(2 + 0,28t+ 0,03t²) = 0,28 + 0,06t.

Подставив вместо tзаданное значение времени, получим

а₁=a (t₁) = 0,28 + 0,062 = 0,37(м/c²),

а₂= a (t₂) = 0,28 + 0,065 = 0,58(м/c²).

Ответ: х₁= 8,64м, х₂= 18,75м, <> = 3,37м/с, ₁= 2,68м/с,₂= 4,15м/с,

< а > = 0,49м/c²,а₁= 0,37м/c²,а₂= 0,58 м/c²

Пример 1.2. Вагон массойт= 20т, движущийся равнозамедленно с начальной скоростью₀= 36 км/ч, под действием силы тренияF= 6 кН через некоторое время останавливается. Найти: 1) расстояние, которое пройдёт вагон до остановки; 2) работу сил трения.

т= 20т

₀= 36 км/ч

F = 6 кН

1. s = ?

2. А = ?