Решение.

1. Из основного уравнения динамики вращательного движения

М=J ,

где J– момент инерции маховика;– угловое ускорение,

получим = (1)

Известно, что момент инерции диска относительно оси, совпадает с геометрической осью диска, определяется формулой

J= mR². (2)

Подставив выражение для Jиз (2) в (1), получим

 = (3)

Выразим величины в единицах СИ:М= 20 Н·м; т = 80 кг; R = 50 cм = 0,5 м.

Проверим единицы правой и левой частей расчётной формулы (3):

1/с²= кг · м²/(с² · кг · м²), 1/с²= 1/с².

Вычислим

 = = 2 (рад/с²).

2. Кинетическая энергия вращающегося тела выражается формулой

Т= (4)

где – угловая скорость тела.

При равноускоренном вращении угловая скорость связана с угловым ускорением соотношением

 = (5)

где _t– угловая скорость в момент времениt;₀– начальная угловая скорость.

Так как по условию задачи ₀= 0, то из (5) следует

_t=t. (6)

Подставив выражение для _tиз (6) иJиз (2) в (4), получим

Т= (7)

Проверим единицы правой и левой частей формулы (7):

Дж = кг · м² · с²/с⁴= кг · м · м/с²= Н · м, Дж = Дж.

Вычислим

Т=

Пример 1.13. На барабан в виде сплошного цилиндра массойт₀= 12кгнамотан шнур, к концу которого привязан груз массойт₁= 3кг. На какое расстояниеSопустится груз за времяt= 5c. Трением пренебречь.

т₀= 12кг

т₁= 3кг

t = 5 c

S= ?

Решение.

Груз будет двигаться равноускоренно с линейным ускорением а, равным тангенциальному ускорению точек барабана, лежащих на его цилиндрической поверхности радиусаR.

а=R,

где – угловое ускорение барабана;R– радиус барабана.

Из основного уравнения динамики для вращающегося тела найдём

 = ,

гдеМ– вращающий момент сил, действующий на барабан;

I– момент инерции барабана.

Рассматриваем барабан как однородный цилиндр. Тогда его момент инерции

I= m₀R².

Вращающий момент М, действующий на барабан равен:

М = F  R,

где F– сила натяжения шнура.

Силу натяжения шнура Fнайдём, рассмотрев силы, рис.4 действующие на груз. На груз действуют две силы: сила тяжестиm₁g, направленная вниз и сила натяжения шнураF, направленная вверх (рис. 4).

По второму закону Ньютона для поступательного движущегося груза имеем: m₁g–F=m₁a,

откуда F = m₁(g – a).

Таким образом, вращающий момент

М₁ = m₁(g – a)  R.

Угловое ускорение барабана

=,

Учитывая, что =, имеем:а=.

Решив это уравнение относительно а, найдём

а=.

Расстояние, пройденное грузом при равноускоренном движении за время t, определим по формуле

S = = 40,88 (м).

Ответ: S = 40,88 м.

Пример 1.14.Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массойт₁= 100гит₂= 110г. Считая блок однородным диском массойт= 400г, найти ускорениеа, с которым движутся грузы и силы натяжения нитейТ_1­иТ₂.

т₁= 100г

т₂= 110г

т = 400 г

а = ?;Т₁= ?;Т₂= ?

Решение.

Применим основные уравнения динамики поступательного и вращательного движений. Рассмотрим силы, действующие на каждый груз в отдельности и на блок. На первый груз действуют: сила тяжести т₁и сила натяжения нити, направленная вверх (рис. 5). Так как блок вращается по часовой стрелке (т₂>т₁), тоТ₁–т₁g=m₁a;Т₁=m₁(g+a).

Уравнение движения для второго груза:

m₂g – T₂ = m₂a T₂ = m₂(g – a).

Под действием двух моментов силRиRотносительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа, блок приобретает угловое ускорение

=.

Из основного уравнения динамики для вращательного движения имеем:

R – R = I,

где I=mR²/2 – момент инерции блока.

По третьему закону Ньютона

рис.5 | Т₁|=| и |Т₂|=||.

(Т₂–Т₁)R=;Т₂–Т₁=.

Учитывая, что

Т₂=т₂(g – a) и Т₁=т₁(g + a),

имеем т₂(g – a) – т₁(g + a) =

а== 0,245 (м/с²).

Т₁= 0,1(9,81 + 0,245) = 1,0055 (Н)

Т₂= 0,11(9,81 – 0,245) = 1,0522 (Н).

Ответ: а= 0,245м/с²;Т₁= 1,0055Н;Т₂= 1,0522Н.

Пример 1.15.Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением=2+16t+2t². Момент инерции маховикаI= 50кгм². Найти закон, по которому меняется вращающий моментМ=М(t) и мощностьN=N(t). Чему равен вращающий моментМи мощность в момент времениt₁= 3c?

 = 2 + 16t – 2t² рад

I = 50 кгм²

t₁ = 3 c

М(t) = ? N(t) = ?

М(t₁) = ? N(t₁) = ?